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复数z等于a+bi（a、b∈R）与有序实数对Z（a,b）是一一对应关系,有序实数对Z（a,b）与平面直角坐标系中的点Z是一一对应的（这个直角坐标平面称作复平面）,复平面中的每一个点Z又与向量一一对应.这样复数z等于a+bi（a、b∈R）、有序实数对Z（a,b）、复平面内的点Z及向量就建立了如图1所示的对应关系.
根据上述对应关系可知,平面直角坐标系是沟通复数与平面解析几何的桥梁.有些解析几何问题若用解析法去解,计算量相当大,当我们把直角坐标系所在平面看成是复平面时,就可以将平面解析几何的有关问题转化为复数问题来解决,利用复数的几何意
义或向量运算,既可以简化解题过程,又避免了繁杂的运算,运用得当,可以大大提高解题速度和准确率.
一、利用复数进行几何证明
【例1】如图2,△ABC在x轴上方,B、C对应的点的坐标分别为（a,0）、（-a,0）,（a∈R）,以AB、AC为腰,在△ABC外分别作等腰直角三角形ABD、ACE（B、C为直角顶点）.试证：DE的中点M为定点.
证明：把直角坐标平面看成是复平面,设A对应的复数为z,则对应于复数z-a,对应于复数z+a,
因△ABD、△ACE为等腰直角三角形,
故 ∴M为定点.
【点评】要证M为定点,需求出点M的坐标,用解析法计算量相当大,本题巧妙应用复数运算的几何意义,既直观,且运算量
很小.
二、利用复数进行几何运算
【例2】如图3,已知正方形ABCD的相对顶点A、C的坐标分别为A（0,-1）、C（2,5）,求另两个顶点B、D的坐标.
由线段的中点坐标公式,得点D的坐标为（-2,3）.
【点评】此题利用复数加法、减法、乘法的几何意义解决思路简单清晰,而且运算量比直接用解析法解决要小得多.
三、利用复数求动点的轨迹
【例3】已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A（-1,0）和B（0,8）关于直线l的对称点都在抛物线C上,求直线l和抛物线C的方程.（1994年全国高考题）
解：如图4所示,设抛物线的方程为y2等于2px（p>0）,点A关于直线l的对称点A′对应的复数为a+bi（a,b∈R）,则点B关于直线l的对称点B′对应的复数为
【点评】当动点（或定点）在已知曲线（直线、圆、双曲线、抛物线）上,则点的坐标满足曲线方程,因此常可用代入法获解,本题中的A′、B′在抛物线上,因此代入抛物线方程即可得到a、b的一个关系式.这题的解答体现了用复数代入法求动点轨迹的解题思路.
【例4】已知一定圆C与圆外一定点O,在圆上任取一点Q,以OQ为边作正△OQR（按逆时针方向）,求动点R的轨迹方程.
解：以OC所在的直线为x轴,点O为原点建立如图5所示的直角坐标系,设OC等于a（a为常数）,圆C的半径为r（r为常数）,则圆C的方程为（x-a）2+y2等于r2,设点Q的坐标为（x1,y1）,R（x,y）,则
【点评】因为△OQR为正三角形,所以用复数乘法的几何意义,很容易就能找到OR、OQ所对应复数的关系.以Q点所对应的坐标为参数,建立参数方程,再用代入法消去参数,即可得到答案.本题在解题过程中,也体现了用复数参数法求动点轨迹的数学思
想方法.
俗话说：“他山之石,可以攻玉.”我们在数学学习过程中,要将各部分知识融会贯通,解题时当一种方法行不通时,及时地调整思路.就如我们在解解析几何问题,当用解析法求解出现困难时,换用复数法求解,有时会使问题变得简单、直接,而且计算量小,准确性高.
（作者单位 江苏省司法警官高等职业学校）