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同学们自己发现和提出问题是创新的基础,独立思考、学会思考是创新的核心,归纳概括得到猜想和规律,并加以验证,是创新的重要方法. 那么如何培养同学们的创新能力呢?一题多解是培养创新意识的有效途径.下面对一道与正方形有关的题目作一题多解,希望对提高同学们的创新能力有所帮助.
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的任一点,∠AEF等于90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线于点F. 求证：AE等于EF.
图1
方法一：构造全等三角形
证明：如图2,在AB上取一点H,使BH等于BE,连接EH.
图2
因为∠B等于90° , 所以∠BHE等于∠BEH等于45° .
所以∠AHE等于135°.
因为CF平分∠DCG,
所以∠DCF等于45°,所以∠ECF等于90°+45°等于135°.
即∠AHE等于∠ECF.
因为AB等于BC ,所以AB-BH等于BC-BE.
即AH等于EC .
因为AE⊥EF,
所以∠AEB+∠FEC等于90°.
又因为∠BAE+∠BEA等于90°,所以∠BAE等于∠CEF.
所以△AHE≌△FCE,所以AE等于EF.
方法二：利用等角对等边的性质
证明：如图3,延长FC交AB的延长线于点H,连接EH.
图3
因为FC平分∠DCG ,所以∠BCH等于∠FCG等于45°.
又因为∠CBH等于∠ABC等于90° ,所以∠BHC等于45°.
所以BH等于BC等于AB,所以BE是AH的垂直平分线.
即AE等于EH,所以∠1等于∠2.
又因为AE⊥EF,所以∠3+∠4等于90°.
因为∠1+∠3等于90°,所以∠1等于∠4,所以∠2等于∠4.
又因为∠4+∠F等于45° ,∠2+∠EHC等于45°,
所以∠F等于∠EHC ,所以EF等于EH,
即AE等于EF.
方法三：构造辅助圆
证明：如图4,连接AC、AF.
图4
因为四边形ABCD是正方形,所以∠ACD等于45°.
又因为CF平分∠DCG,所以∠DCF等于45°.
即∠ACF等于90° .
又因为∠AEF等于90°,
易知点A、E、C、F在以AF为直径的圆上.
根据同弧所对的圆周角相等,得∠AFE等于∠ACE等于45°.
所以∠EAF等于45°,所以AE等于EF.
方法四：利用对称性
证明：如图5,作△ECF关于BG的对称图形△ECH.
连接AC,易知A、C、H三点共线.
图5
因为AE⊥EF ,所以∠3+∠5等于90°.
又因为∠2+∠5等于90°,所以∠2等于∠3等于∠4.
因为∠1+∠2等于45°,∠4+∠H等于45°,
所以∠1等于∠H,所以AE等于EH.
又因为EF等于HE,所以AE等于EF.
方法五：利用勾股定理
证明：如图6,过F作FH⊥BG,垂足为H.
图6
设AB等于BC等于a,EC等于b,则BE等于a-b,
设FH等于CH等于c,则EH等于b+c.
在Rt△ABE中,AE 2等于AB 2+BE2等于a2+（a-b）2.
在Rt△EFH中,EF 2等于FH2+EH 2等于c 2+（b+c）2.
因为△ABE∽△EFH,所以等于,
即等于,
整理得a-b等于c,a等于b+c.
即a2+（a-b）2等于a2+c2 ,
c2+（b+c）2等于c2+a2,
所以AE2等于EF 2 ,即AE等于EF.
创新不是简单的重复、模仿.同学们在解题时,要充分思考,从不同的角度、不同的途径、使用不同的方法得到答案,然后分析每一种证法,从中进行解法优劣的比较与取舍,从而培养同学们的积极性、主动性和创新能力.