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【摘 要 】在整个高中数学中,不等式具有广泛的数学应用基础.本文以近年的经典数学题为例,介绍如何构造不等式,巧解解析几何题,从而启迪学生更有效的进行解析几何的学习.
【关 键 词 】构造不等式 巧解 解析几何题
不等式的应用贯穿于整个高中数学的各个章节,在解析几何中也有广泛的运用.具体解题中若能根据需要充分地利用图形的几何性质,构造不等式,可使问题迎忍而解,下面举例说明.
例1 已知双曲线x2a2－y2b2等于1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|等于4|PF2|,则双曲线离心率的最大值为
A.43 B.53 C.2 D.73
解：∵|PF1|等于4|PF2|,又|PF1|－|PF2|等于2a
∴|PF1|等于8a3,|PF2|等于2a3.
由双曲线的几何特征知|PF1|≥c+a,|PF2|≥c－a
即：8a3≥c+a,2a3≥c－a
可得ca≤53,即e≤53.故：选B.
启迪：本题的解题关键是根据双曲线右支上的点中,以双曲线的右顶点到两个焦点的距离为最短,以此构造了不等式“|PF1|≥c+a,|PF2|≥c－a”,使问题得以解决.
例2
已知双曲线x2a2－y2b2等于1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,在双曲线的左支上有一点P到左准线的距离为d,若d,|PF1|,|PF2|成等比数列,求双曲线离心率e的取值范围.
解：∵|PF1|d等于|PF2||PF1|等于e,
∴|PF2|等于e|PF1|①
又|PF2|－|PF1|等于2a②
由①②解得|PF1|等于2ae－1,|PF2|等于2aee－1
由“三角形两边之和大于第三边”可构造不等式
|PF1|+|PF2|>|F1F2|
而当F1、P、F2三点共线时,|PF1|+|PF2|等于|F1F2|
所以2aee－1+2ae－1≥2c,解得1－2≤e≤1+2
∵e>1,∴1 启迪：本题的解题关键是根据双曲线左支上的点P与双曲线的两个焦点F1、F2构成的三角形中,两条焦半径之和大于焦距,从而构造出不等式,但还应该注意到F1、P、F2三点共线时,两条焦半径之和等于焦距这个事实,以免出错. 例3 已知定点A(－2,3),点F为椭圆x216+y212等于1的右焦点,点M在椭圆上移动,求|AM|+2|MF|的最小值. 解：∵a等于4,c等于2,e等于12,由椭圆的第二定义得|MF||MM′|等于e等于12 ∴|MM′|等于2|MF|,|AM|+2|MF|的最小值就是|AM|+|MM′|的最小值.由右上图知,|AM|+|MM′|≥|AN|,即当A、M、M′三点共线时,|AM|+|MM′|的最小值为|AN|等于8－(－2)等于10. 启迪：本题的解题关键是构造了不等式|AM|+|MM′|≥|AN|,它可以理解为过M作MQ⊥AN于Q,则直角三角形的斜边AM大于直角边AQ,这样就有|AM|+|MM′|≥|AQ|+|QN|等于|AN|,当且仅当A、M、M′三点共线时“等于”成立. 例4 设椭圆方程为x24+y2等于1,过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,且∠AOB为锐角（O为坐标原点）,求直线l的斜率k的取值范围. 解：显然直线x等于0不满足题设条件,可设直线l：y等于kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2). 联立y等于kx+2x24+y2等于1 ,消去y并整理得(k2+14)x2+4kx+3等于0. 则x1+x2等于－4kk2+14,x1x2等于3k2+14. 由△等于(4k)2－4(k2+14)×3等于4k3－3>0,得k<－32或k>32① 又0<∠AOB<π2cos?∠AOB>00A•,OB>0 ∴OA•,OB等于x1x2+y1y2>0 又y1y2等于(kx1+2)(kx2+2)等于k2x1x2+2(x1+x2)+4等于－k2+1k2+14 ∴3k2+14+－k2+1k2+14>0,解得－2 由①②得－2 启迪：本题的解题关键是根据条件∠AOB为锐角,构造不等式cos∠AOB>0,进而得OA•,OB>0亦即x1x2+y1y2>0,从而使问题得以解决. 例5 已知抛物线y等于x2上存在两个不同的点M、N关于直线l:y等于－kx+92对称,求k的取值范围. 解：设M(x1,x21),N(x2,x22)为抛物线上关于直线l对称的两点,则MN⊥l,即x21－x22x1－x2等于1k即x1+x2等于1k. 又∵MN的中点在l上, ∴x21+x222等于－k•,x1+x22+92等于－k•,12k+92等于4 又∵MN的中点必在抛物线的内部 ∴x21+x222>(x1+x22)2,即4>(12k)2 解得k<－14,或k>14 启迪：本题的解题关键是构造了不等式x21+x222>(x1+x22)2,它依据的是对于抛物线y等于x2,若点A(x0,y0)在抛物线内部,则y0>x20；若点A(x0,y0)在抛物线上,则y0等于x20；若点A(x0,y0)在抛物线外部,则y0