数学思维在《线性代数》中的应用

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【摘 要】《线性代数》 是理工类专业开设的一门数学基础课,是研究线性空间（欧几里得空间）的重要基础,为解决线性的诸多问题提供了重要工具.文章基于对大学生数学思维方法的要求,结合教学实践研究,对《线性代数》中所体现的数学思维方法给予总结.

【关 键 词 】归纳思维；类比思维；逆向思维；发散思维

本文从对数学思维理解的角度出发,结合教学实践,展开论述,从理论上给出了几种不同思维方法的概念,并举例研究了这些思维方法在《线性代数》中的体现.

一、类比思维

所谓类比,就是借助于两类不同本质事物之间的相似性,通过比较,将一种已经熟悉或掌握的特殊对象的知识推移到另一种新的特殊对象上去的推理手段.在教学过程中如能积极主动地运用类比进行讲解、论证,必将收到事半功倍的教学效果,这种思维同样有利于学生创新能力的提高.

试举一例.大家都知道,f（x）等于a0xn+a1xn-1+等+an-1x+anx0（a0≠0）是一个n次多项式,这里面体现的是加法、数与未知量相乘（数乘）和方幂,而对于方阵,我们也定义了方阵的加法、数与方阵相乘和方幂,根据类比思想,我们把多项式中的x换成方阵A也应该是成立的,所以产生矩阵多项式

f（A）等于a0An+a1An-1+等+an-1A+anE,A0等于E

尤其是矩阵最小多项式在矩阵函数、微分方程组等问题中有重要应用.

二、归纳思维

归纳是在通过多种手段（如观察、分析、实验等）,在对个别事物经验认识的基础上,发现规律,总结出一般事物所具备的原理或定理的推理方法.在《线性代数》的教学中,使学生掌握归纳方法的要点、本质,使学生树立起归纳的意识是非常重要的,因为这对他们以后从认知到创新能力的过度起着重大影响.

试举一例.求detA,其中

分析：观察这个矩阵,可以看出每一行的元素之和都相等,且等于6；每一列的元素之和也相等,且等于6,果把第二行（列）、三行（列）、四行（列）元素都加到第一行（列）上,则第一行（列）变为全是6,这样根据行列式的性质就可以提出6,让第一行（列）全变为1.然后再把新的行列式三角化即可得到结果.

解：

总结：对于这样的问题（行列式中每行的元素之和相等,或者每列元素之和相等）,就可以把其他几行的元素都对应的加到第一行,或者把其他几列的元素都对应的加到第一列.

再举一例.设矩阵,求AA*,A*A以及|A|.

（其中A*是A的伴随矩阵）

解：由题知

所以

分析：由结论知,

（E是3阶单位阵）.

所以,可得AA*等于A*A等于|A|E.

对于这样的矩阵,我们有AA*等于A*A等于|A|E这一结论.

现在的问题：是不是对所有的方阵都有这样的结论呢,应用行列式按行按列展开定理,答案是肯定的.我们可以得到一个一般的结论.

定理：任意方阵A,都有AA*等于A*A等于|A|E.（其中A*是A的伴随矩阵；E是与A同阶的单位阵）

三、逆向思维

逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式.敢于“反其道而思之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象.思维本身具有双向性,由此及彼与由彼及此就是思维的两个相反方向.在《线性代数》中,有不少内容都可以培养学生的逆向思维.由于逆向思维对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向往往都能起到积极的作用.

试举一例. 设,求A41+2A42+3A44.

分析：一般的做题方法,是直接求出A41,A42,A44,带入计算.当然这种方法可以求出结果,但是做起来繁琐,耗费时间,并且容易出错.

若用逆向思维,从结果出发,观察A41+2A42+3A44,这里唯独没有A43,所以我们可以增加一项,得到

A41+2A42+3A44等于A41+2A42+0A43+3A44

并且发现系数是1,2,0,3,正好是第三行的元素乘以对应的第四行元素的代数余子式之和,由定理知结果是0.

这种方法,既节省了时间,又不容易出错,使问题大大简化.

四、发散思维

发散思维亦称扩散思维、辐射思维,是指在创造和解决问题的思考过程中,不拘泥于一点或一条线索,而是从已有的信息出发,选择多角度,向多方向扩展,不受己知的或现存的方式、方法、规划或范畴的约束.数学发散性思维的实质就是创新,所以数学发散思维是创造性思维的重要组成部分.

试举一例.设方阵A满足A2-5A-7E等于O,试证A+E可逆,并求其逆.

证：根据方阵A可逆的定义（设方阵A,若果存在一个与A同阶的方阵B,使得AB等于E成立,我们就称A是可逆矩阵,并且A的逆矩阵就是B）

（那么由从定义出发证明结论,就得构造出等式右端的E）

由A2-5A-7E等于OA2-5A-6E等于E（A+E）（A-6E）等于E

再由可逆矩阵的定义,可得A+E可逆,且其逆为A-6E.

分析：从A2-5A-7E等于O出发证A+E可逆,好像无从下手.但是如果能紧扣可逆矩阵的定义,构造出等式的右端是E,根据这种思维,不难找到这种题的解题方法.

本文基于对学生数学思维能力的培养,从《线性代数》的教育出发,结合实际教学经验,在调动学生积极性,培养学生数学思维能力,倡导发现教育等方面,进行了详细的论述.作为数学教师,运用合乎实际且行之有效的教学方法是提高教学质量的基本保障,而依托教学大纲,创造性地选择教学内容的呈现形式则是提高教学质量的关键性工作.应把数学学习看成是人类的一种创造性活动；同时,应当坚持数学教育,主要是把教会学生“数学思维”的数学教育观作为数学教师工作的根本出发点.