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[摘 要]Langrange系统是一类比较重要的微分方程模型,它来自于天体物理和非线性弹性问题.利用临界点理论研究具有两类具有线性增长非线性项的非自治Langrange系统多重周期解的存在性,推广已有结果.
[关 键 词 ]Langrange系统, 多重周期解, 线性增长非线性项； 临界点.
1.引言与主要结果
本文研究非自治Langrange系统
(1)
的多重周期解的存在性, 其中 .
Langrange函数 ,且 满足
满足:对 , 是可测的；对 , 是连续可微的,且存在 , ,使得
,
对所有 和 成立.
是 阶 实 对 称 矩 阵, , 关于 是 周期的,且存在 使得
（2）
对所有 成立,且
其中 , 为 中的标准基.
设 关于 是 周期的, ,即
(3)
对所有 和 成立,其中 为整数, 为 中的标准基.
设存在 , 使得
(4)
对所有 和 成立.
(5)
对所有 和 成立,其中 为 中的标准基.
许多文献对问题(1)周期解的存在性进行了研究 ,当 时, 问题(1)的特殊情形为非自治二阶系统
(6)
非自治二阶系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的整个领域,特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以系统(或它的扰动系统)的形式出现,因此对该系统的研究具有重要的理论和实际意义．非自治二阶系统周期解的存在性一直是人们所关注的重要问题,并得到了一系列重要的结果,如文献[1-6].
在周期位势下即(3)式中 情形,文献[1]和文献[2]中研究了非自治二阶系统(6)周期解与多重周期解的存在性, 当位势 是 周期即(3)式成立时, 文献[3]在非线性项 有界,即
时,得到非自治二阶系统(6)多重周期解的存在性. 文献[4]中,唐春雷将文献[3]中结果推广为次线性非线性项,即
的情形,得到了多重周期解的存在性定理.
受以上文献启发,本文在具有部分周期位势和线性增长非线性项即(4)式成立的情形下,研究非自治Langrange系统的多重周期解的存在性,得到以下结果：
定理1.1: 设条件 成立,则问题(1)在Sobolev空间 上至少有 个不同的周期解.
注1 当极限值为 时, (5)式为著名的Ahmad-Lazer-Paul型强制性条件,易见在(5)式中极限可以是下方有界的,极限值放宽为
定理1推广和补充了文献[4]中结果,它对应于(5)式当极限值为 , 的特殊情形.
当位势函数 关于 是偶函数和具有线性增长非线性项,本文得到以下结果：
定理1.2: 设条件 , 和 成立 ,且
(7)
对所有 和 成立, 且存在 及整数 >1,使得
（8）
对所有
若 关于 是偶函数且 ,则问题（1）在Sobolev空间 中至少有2 个不同的非平凡周期解.
2. 准备工作
记Sobolev空间 在 上绝对连续, 且
具有范数 .
对 ,令 ,则 .
由Sobolev不等式,有
由Wirtinger不等式, 有
令 ,其中
,
其中 为使得 的唯一整数, 为 中的标准基,则 是有界的(参见文献[3-4]).在Sobolev空间 上定义泛函 如下：
由文献[10], 是问题（1）的解当且仅当 的临界点. 令
为 的一个离散子群, 为标准映射, ,其中
, ,
,
与环面 同构,且 .
文献[9]利用 不变群指标理论到下列临界点定理
引理2.1 ：设 R 满足(PS)条件, 且 是偶函数, .
(i) 若有 维子空间 及 ,使得
(ii) 若有 维子空间 ,使得
其中 是 的直和补空间.
若 , 则泛函 至少有 个不同的临界点.
.
3. 定理的证明
定理1.1的证明：由(4)式, Sobolev不等式,并注意到 的有界性,有
（9）
其中 均为正常数.
由(5)式 , 当 充分大时,对 ,有
（10）
由(9)式和(10)式 ,有
注意到 ,当 时,有 , 这表明 是强制且下方有界的,由文献[6]知泛函 满足 条件, 即对任何序列 ,使得 有界, , 则序列 有收敛子列.
由文献[10]定理4.12 ,泛函 在在 上至少有 1个不同临界点,从而问题(1)在 上至少有 1个不同的解. 证完
定理1.2的证明：我们利用引理2.1来证明定理1.2.
第一步：类似定理1.1的证明,可得泛函 下方有界且满足(PS)条件.
第二步：去证 满足引理2.1中条件（i）成立.
令
由(2)式,(8)式有
+
对 成立,其中 为使得 成立的正常数.
第三步：证明泛函 满足引理2.1中条件（ii）.
由定理1.1的证明当 有 ,这表明
第四步：取 ,取
由 关于 为偶函数,知泛函 为偶函数且 .
故由引理2.1,则泛函 至少2k个不同的临界点. 证完