《一个四边形的面积引发的》再

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文[1]中童永芳老师解决了：如右图,△ABC中,AB等于3,AC等于4,BC等于5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.

在解完题目后,作者得到：显然,

当∠BAC>90°时,则S四边形ADFE>S△ABC；

当∠BAC等于90°时,则S四边形ADFE等于S△ABC；

当∠BAC<90°时,则S四边形ADFE

当∠BAC等于60°时,四边形ADFE不存在.

在敬仰童老师的研究精神的同时,发现该结论不完全正确,因为当∠BAC等于30°时,S四边形ADFE等于2S△ABC,故作如下商榷：

设∠BAC等于θ,由三角形的面积公式知,

S△ABC等于12ABACsinθ,

S四边形ADFE等于ABACsin（360°-120°-θ）等于

ABACsin（240°-θ）,

所以S四边形ADFES△ABC等于ABACsin（240°-θ）12ABACsinθ等于2sin（240°-θ）sinθ等于f（θ）,

所以f（θ）等于2sin（240°-θ）sinθ等于

2sin（60°-θ）sinθ（0°<θ<60°）,

2sin（θ-60°）sinθ（60°<θ<180°）,

化简得f（θ）等于3cotθ-1（0°<θ<60°）,

1-3cotθ（60°<θ<180°）.

当60°<θ<90°时,有S四边形ADFE

当θ等于90°时,则S四边形ADFE等于S△ABC；

当90°<θ<180°时,则S四边形ADFE>S△ABC.

当0°<θ<60°时,f（θ）=1,即3cotθ-1=1,有cotθ=23,θ=arccot23.

因为cotθ在0°<θ<60°上为减函数,所以

当arccot23<θ<60°时,0

综合上述分析,我们可以得到：

定理△ABC中,以AB、AC、BC向同侧作等边三角形△ABD,△ACE,△BFC,如果A、D、F、E能组成四边形,则四边形ADFE是平行四边形,且当60°<∠BAC<90°或arccot23<∠BAC<60°时,S四边形ADFE