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【摘 要】本文对判断方程根的题型进行了分类,并介绍了每一类型的求证方法,且通过例题作了具体说明.
【关 键 词 】方程根；辅助函数
在高等数学学习中,判断方程根是一种常见题型,本文对判断方程根的题型进行了分类,并详细介绍了每一种题型的求证方法.
1.关于方程等于0的根（或的零点）的存在性的证明思路
（1）只知在上连续,而没有说明是否可导,则一般用闭区间上连续函数的零值定理证明.
（2）作出的一个原函数,证明满足罗尔定理条件,从而得出的零点证明.
2.方程等于0的根的个数的讨论
解题步骤：
（1）求出的驻点和使不存在的点,划分的单调增减性区间；
（2）求出各单调区间的极值（或最值）；
（3）分析极值（或最值）与轴的相对位置.
3.方程等于0的根的唯一性的研究
解题思路：
（1）利用零值定理（或罗尔定理）证明等于0至少存在一个根；
（2）利用函数的单调性证明等于0最多只有一个根.
【例1】设在上连续,,证明：在内至少存在一点,使得.
分析：本题仅知在上连续,因而只能用零值定理证明.
证明：由假设同号,不妨设,由导数定义有：
由极限定理,存在一个,又,必定.
同理,由,存在一个,当时.
令,则当时,；当时,,又显然在上连续,由零值定理,在内至少存在一个,使,从而在内至少存在一个,使.
【例2】试讨论方程的实根.
解：令,则方程的实根的个数相当于的零点的个数.
令,列表如下.
因为是唯一的驻点,上的极大值,因此也是最大值,以下就轴的相对位置讨论的零点.
（1）若位于轴下方,由表所示,与轴不会有交点,因此没有零点.
（2）若位于轴下,由表所示与轴除点外不会相交,因此只有唯一零点.
（3）若位于轴上方,由表所示在内↗且,可知在内有且仅有唯一的零点；而在内↘,且,可知在内有且仅有唯一的零点.
综上所述,当时,方程没有实根；当,方程有唯一实根；当时,方程有两个实根.