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摘 要：微分中值定理,是研究函数的重要工具,微分中值定理是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的总称.本文主要给出了柯西中值定理的几种证明方法.
关 键 词：柯西中值定理,反函数法,坐标旋转法.
1引言
由于解决实际问题的需要,人们引进了微分学的概念,并对它进行研究发展,使之成为一门系统化、全面化的理论.而且微分学也随之成为解决实际问题中一种重要的工具之一,其应用也越来越广泛.而微分学中的一个重要定理――微分中值定理――是微分应用的理论基础,是微分学的核心理论.
微分中值定理有着明显的几何意义,以拉格朗日定理为例,它表明“一个可微函数的曲线段,必有一点的切线平行于曲线端点的弦.”从这个意义上来说,人们对微分中值定理的认识可以上溯导公元前古希腊时代,古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”.这正是拉格朗日定理的特殊情况,求出抛物线弓形的面积.希腊著名数学家阿基米德（Archimedes,公元前287―前221）正是巧妙地利用这一结论,求出抛物线弓形的面积.意大利卡瓦列里（Calieri,1589―1674）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,引理叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.本文主要给出了柯西中值定理的几种证明方法.下面先给出柯西中值定理：
柯西定理如果在闭区间上连续,在开区间上可导,对任意的,不为零,那么在内至少有一点使等式成立
2证明方法
（1）用坐标旋转法证明柯西中值定理
证明：定理的条件可知,函数的图像是平面上一条连续且光滑的曲线L,曲线L的两个端点分别为
由图所示,
图2.1
与轴正向的夹角为,,旋转轴使,则曲线上任意一点在新坐标系下的坐标为
而
所以曲线L在新坐标系下的参数方程
（2.1）
显然对任意的存在,
则方程（2.1）在上满足罗尔定理的条件,故存在,得
所以有
所以
定理证明完毕.
（2）用反函数法证明柯西中值定理
证明：首先在内可导,且,故或,
不能,使得且,如若不然,由达布定理知,存在在与之间,使得,这与已知条件矛盾,故对一切,恒大于或恒小于,不妨设,从而知道在内为严格单增函数,也就存在反函数,其次设而在上连续,在内可导,知道的反函数在上连续,在内可导.又由在上连续,在内可导,知道函数也在上连续,在内可导,由格朗日中值定理知道,存在使得
令,即
,
则并且及复合函数,反函数的导数.得：
代入上式,得到
定理证明完毕.