数学证明题思想方法

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【摘 要 】在进行数学教学时,应教会学生在学习知识时,认真分析、体会证明题用到的思想方法,通过一定量的习题训练,使学生在理解的基础上掌握证明题用到的方法、技巧,从而形成自己证明题的思想方法,提高学生自己解决实际问题的能力.本文将针对此问题进行探索.

【关 键 词 】新思想 方法 新课标 训练探索 思想方法

数学课程标准明确指出,通过数学学习,学生不仅要掌握基本的数学知识,而且要掌握基本的数学思想方法和发展数学的能力.在教学过程中,注重思想方法的培养,不仅可提高课堂教学效果,减轻学生学习负担,而且有利于提高学生数学思维能力.近年来,我在数学证明题思想方法上做了一些探索,取得了很好的效果.其做法如下：

一、在数学知识的教学过程中培养数学证明题思想方法

在教学过程中,学生数学思想方法的形成有一个循序渐进的过程,学生在学习具体数学知识初期,由于数学知识水平的限制,对其所蕴涵的数学思想方法只有感性认识,很难理解掌握教师所讲授的难点知识,这就要求教师根据学生的实际情况,选择适应学生的教学方法,在教学生知识的过程中培养数学思想方法.例如：在讲三角形全等这课时,学生对全等判定定理的内容掌握较差,我建议四个学生为一组,先做一个三角形,用量角器和直尺测量各角和各边,按定理的要求,分别根据SAS、ASA、AAS、SSS四个公理或定理做三角形.学生发现做出的三角形大小、形状完全相同.这样,学生通过做图分析可发现,判定定理的三个条件能确定三角形的形状、大小,这也是判定三角形全等的实质.为了加深学生对全等判定定理的理解,在做证明题时,要让他们能根据题目的已知条件和图形,选择用哪一个定理来证明全等.

例：如图,AB＝CD,问再满足一个什么条件时,能够证明∠A＝∠D

这道题给出的条件不明确,我们无法直接确定用哪一个定理来证明结论,因此不妨倒过来看：想证∠A＝∠D,只需证△ABC≌△DCB,题目中知AB＝CD,由图可知BC为公共边,也就是说△ABC和△DCB中有两条边相等,而判定定理中涉及两条边的判定定理有两个,分别为SAS和SSS,如果我们想用SAS,只需证明∠ABC＝∠DCB即可.如果想用SSS定理,只需AC＝DB即可.这样,学生就可以利用全等三角形的性质来证明∠A＝∠D.

通过具体知识的讲解,能够让学生从中体会证明题的基本过程,掌握证明用到的思维方法及应用定理证明题时选择方法的技巧,使学生对证明题有一个初步的认识.经过这样反复训练,学生就会在不断感悟的基础上,逐渐掌握证明题的数学思想方法,提高个人做证明题的基本能力.

二、在数学技能的训练中培养数学证明题思想方法

由于在教材中数学思想方法的呈现形式是隐藏的,一般不直接讲解具体的思想方法,因此教师应根据数学科知识的特征,有目的、有计划地培养学生的数学思想方法.常用的训练方法有下面几项：

1.专题训练

所谓专题训练,就是通过一类题目的训练,使学生掌握做这一类题用到的基本方法和应具有的基本能力.

例：△ABC中,AB＝CD,E为AB上一点,D为AC延长线上一点,且BE＝CD,DE交BC于F,求证：DF＝EF.

这是一首证明线段相等的题目.要让学生自己想想哪些方法可证明线段相等,如：等角对等边、三角形全等的性质、中垂线定理、角平分线定理、平形四边形的性质等可证明线段相等,根据题目条件及图形,我们来选择用哪一种方法来证明：因为EF与DF没有在同一三角形中,没有提到角平分线、中垂线及平行四边形,所以我们选择用三角形全等来证明线段相等.但是,EF边与DF边所在的三角形不可能全等,这就需要作辅助线来构造全等三角形来证明线段相等.可过点E作EM∥AC交BC于点M,根据题意可推△EFM≌△DFC,这样就可解决这道题目.

通过这一题目的证明,可使学生掌握证明线段相等的常用方法,会根据题意选择方法及做旋转、平移或做平行线构造全等三角形等思想,从而对证明线段相等的题目有了自己的想法.再经过一定的训练,就能掌握证明线段等类题目的思想方法,利用一些方法可培养学生对某一类问题的看法,理解其中原理,掌握基本证明题的思想方法.

2.分类讨论训练

分类讨论训练,是为了使学生对情况比较复杂的问题,能够根据出现的各种可能情况,做全面周到的分析、考虑.

例：等腰三角形两边为3和4,求周长.因为题目没告诉3是底边还是腰,所以要分两种情况考虑：其一,3为腰,4为底,则周长为10；其二,3为底,4为腰,周长为11.

通过一定量题目的训练,让学生知道,当有的题意情况不确定时,要根据题目的实际情况分类讨论,考虑问题要全面,掌握从不同角度来分析问题的数学思想方法.

3.构造基本图形、转化问题的训练

在几何证明题中,辅助线能起到一个桥梁的作用,可以完成从未知到已知的转化.那么,如何做辅助线呢?这就要求学生掌握定理中的基本图形及做题的基本认识——这也是我们做辅助线时的依据.如：在等腰三角形中,常做的辅助线就是三线合一.遇到角平分线时,经常由角平分线上的点向角两边引垂线；求线段长度时,尽量构造直角三角形.

例：△ABC中,∠B＝30°、∠C＝45°、AB＝2,求BC的长度?

30°、45°都属特殊角,应尽量把特殊角放在直角三角形中,所以做AD⊥BC于D点,这样就可构造两个直角三角形,利用直角三角形的知识求BC的长度.这样,这道题也可变式为：△ABC中,∠B＝30°、∠C＝45°、BC＝1＋,求AB的长度.

通过这样的训练,可让学生掌握一些基本图形,在做题时尽可能地寻找条件构造基本图形,或转化其中的一些条件,构造基本图形,从而也可构造出新的题型.这样就可培养学生的发散思维,拓宽学生的知识视野,使他们形成自己的思想方法.

三、在解决问题中培养证明题的数学思想方法

杜威、布鲁纳提出的思维模式“提出问题—进行假设—验证真伪”,很适合我校做证明题的思路分析过程.让学生根据自己掌握的知识、经验,试着分析问题、解决问题,在分析过程中,就要用到已掌握的一些数学思想方法.

例：△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,AC的垂直平分线EF交AC于E,交BC于F,你认为BF与CF之间有什么关系?

根据题目给出的条件、结合图形,首先连接AF,这样就可构造出中垂线定理中的基本图形,而且知道AF＝CF,而题目求BF与CF的关系就可转化为BF与AF的关系.从图形可知,BF与AF在同一个三角形中,且BF与AF不相等,从图形可以假设BF＝2AF,因为∠BAF＝120°,∠B＝∠C＝30°,AF＝CF,可知∠C＝∠CAF＝30°,这样可知∠BAF＝90°,从而可知假设成立.

通过学生参与、教师讲解,让学生掌握假设在证明题中的作用,这也是学生应掌握的数学思想方法.通过反复训练,学生在不断感悟中使自己的思想升华,形成自己的解题方法,从而在解题中掌握证明题的数学思想方法.

总之,在几何证明题的教学过程中,处处蕴涵着证明题的思想方法,只要我们善于发现、总结、归纳,就可掌握证明题的数学思想方法,从而更好地为我们解决生活中的实际问题提供科学的思想方法.