数学概念的教学

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人类对于自然数概念的形成历经了多长时间?恐怕要用万年为单位计算,可见概念建立的艰难.

在远古时代,人类在捕鱼、打猎和采集果实的劳动中产生了计数的需要.起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物对应计数,古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数,现在使用的英语calculate（计算）一词就是从希腊文calculus（石卵）演变来的.中国古代《易系辞》中说,上古结绳而治,后世圣人易之以书契,这就是匹配计算法的反映.文明社会里几岁的小孩就有了自然数的概念,这就是文化的力量.但是学习数学,不是一件轻松的事.数学概念就是数学学习的首要环节,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提,是数学基础知识与基本技能教学的核心,是构建数学理论体系的支柱,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是本学科的精髓、灵魂.理解掌握数学概念是提高数学解题能力的前提,一些学生重解题、轻概念,导致学习成绩不理想,不可能真正学好数学.因此,数学概念是要让学生体会概念产生的源头,亲历概念形成的过程,自主抽象概括形成概念,自觉应用概念解决问题.

数学概念是一类数学对象（数和形）的本质属性在人的思维中的反映（抽象思维的产物）,是这种对象所独有的,而为其他对象所没有的性质.对象的概念是用文词表达出来的,即定义.基于概念本身的复杂性、抽象性,学生对概念的理解和掌握往往感到困难,因此必须重视和加强数学概念的教学.

一、在体验数学概念产生的过程中认识概念

数学概念的引入,应从实际出发,创设情境,提出问题.通过与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识,通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性.

如极限概念在《数学分析》中极其重要.在“极限”概念的教学中,教师先让学生体会庄子“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的思想内涵,写出数列,想象无限分割下去,其值几乎是0；我们的生活体验有：在晴朗的夜空,遥望星星,见到的是微小的闪烁的“小白点”,而实际上,很多星星比我们的地球大许多倍,我们见到的那束光也许走了多少光年,星星离我们实在是太遥远了；李白的诗“孤帆远影碧空尽”,杜甫的诗“会当凌绝顶,一览众山小”；运动员体力消耗到透支,都给我们以极限的感觉.再让学生举例,把自己对极限概念的一些认识融入讨论之中.至于严格定义或说精确定义,我们利用几何意义来分析,作出图像,使函数值f（x）与确定值A有多接近就有多接近,无论给出多么小的ε,总可以找到相应的δ,当x-δ

二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

一个新概念的引入,无疑是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步拓展和延伸.如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：初中阶段（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；高中阶段（3）任意角的三角函数的定义,等等.可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓是重中之重,是整个“三角”部分的奠基石,贯穿于与“三角”有关的各部分内容中,并起着关键作用,很多题目是可以利用定义求解的.三角函数的性质符号：一全二正弦,三切四余弦；几十个诱导公式；同角三角函数的各种关系式,等等,都可以利用定义得到.所以重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,对于学生理解概念显得更有必要.常言道：磨刀不误砍柴工.事实上,也正是如此,对概念的内涵与外延的把握,不但不会耽误例题的讲解,相反会相得益彰.

三、类比邻近概念,引入新概念

任何数学概念必定有与之相关的邻近概念,因此教学中,要以学生已掌握了的知识为基础,从学生的邻近概念出发,引导学生探求新旧概念之间的区别和联系.这样有助于学生掌握概念之间的相互联系,促进学生对数学理论整体性与严密性的把握.

例如在学习连续概念时,就是利用极限定义的：设函数f（x）在点x的某个邻域内有定义,若f（x）等于f（x）,则称函数f（x）在点x处连续,否则称点x是f（x）的间断点.分析定义可知,函数f（x）在点x处连续,必须同时满足以下三个条件：①函数f（x）在点x的某邻域内有定义,②f（x）存在,③这个极限等于函数值 f（x）.从正反两面分析理解概念,还可以利用变式加以理解： f（x）等于f（x）?圳Δy等于0,自变量有一个微小的改变,函数值也有一个微小的改变,不是显著的改变,教师作出几个函数图像,帮助学生加以理解.

再如以方程的解为坐标的点都在直线上,继而让学生观察图像为曲线的抛物线y等于x和正弦函数y等于sinx的图像,辨析它们是否也满足这一点.通过直观对比、观察,启发学生概括曲线和方程相互表示的条件.最后教师引导学生用类比直线的方程和方程的直线的方法给这类数与形和谐统一的曲线和方程下个定义.当然,对于数学概念的教学,乃至所有的课堂教学,教师始终应更注重引导学生自主探索,发现、总结、归纳,从而形成概念.

四、反思学习过的概念

如（x≥0）是二次根式,学生往往不注意条件,被开方数非负,教师提问：是二次根式吗?学生立即答是.可是只有在x≥时,被开方数非负.尤其在化简二次根式时,要特别注意.再如幂函数y等于x与指数函数y等于a形式很像,它们的区别到底是什么?学生很难辨析.在讲微积分起始课函数一节时,只有极个别的同学能答对.教师启发学生看自变量所在的位置,幂函数的自变量在底数位置上,指数函数自变量在指数位置上,是两种完全不一样的函数.

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”.因此在概念形成过程中,要引导学生通过对具体事物的感知,自主观察分析、抽象概括,自觉获取事物的本质属性和规律,从而形成新的概念.这样学生在获得概念的同时,还培养了抽象概括能力和创新精神,同时使学生从被动地“听”发展成为主动地获取和体验数学概念,自主建构知识的过程.这样才能充分体现以学生为本,尊重学生主体地位的教学理念,同时促进学生学习方式的转变和优化,最后内化为自身的知识.从而发展思维能力,培养创新意识,促进知识向能力转化,有效提高教学质量.