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在平面内,(如图)由圆外的一点,向圆引三条割线,如果割得的二个大弦相等,那么割得的二个小弦和所夹的二个角也相等,
已知:(如图)A是O外的任一点,AB.AC.AD分别是O的三条割线,分别交O于G、F、E、BC等于CD.
求证:①GF等于FE
②∠BAC等于∠CAD
证明:连接BF、CG、CE、DF、EF、FG
在ΔABF和ΔACG中∠1等于∠1
∠3等于∠4
ΔABF∽ΔACG等于>等于AFAG等于>
AC•,AF等于AB•,AG等于>等于>
ΔACB∽AGF等于>
同理在ΔACE和ΔADF中∠2等于∠2
∠5等于∠6
等于>AC•,AF等于AD•,AE等于>等于>
ΔACD∽ΔAEF等于>等②
由:AC•,AF等于AB•,AG
AC•,AF等于AD•,AE
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由:FG等于EF等于>FG等于EF等于>∠3等于∠6
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BC等于CD等于>BC等于CD等于>∠7等于∠8
故:∠1等于∠7―∠3
∠2等于∠8―∠6
作一任意角∠A,(∠A的范围0°<α≤36°)将∠A平均三等分
作法:(如附图一)
1.先作∠A的平分线AM.(Am射线、An射线)
2、在∠A的平分线上任取一点O
3、经O点作∠A平分线的垂线,交∠A的一边Am射线于B点,交∠A的另一边An射线于C点
4、以O点为圆心,OB为半径画圆,则圆周必经C点,同时圆周交Am射线于H,交An射线于I.
∵在ΔABO和ΔACO中.AO等于AO
∠BOA等于∠COA等于90°
∠BAO等于∠CAO
OB等于OC.∴圆周必经C点
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5、作∠BOD等于∠DOE等于∠EOC等于60°分别交圆周于D、E等于>BD等于DE等于EC等于>BD等于DE等于EC
6、连结AD.AE交圆周于F、G
则:∠BAD等于∠DAE等于∠EAC(一角三分)
论题二:给已知一个任意角(0度除外)平均
三等分
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论证:(如附图二)连结BF.DH.DG.EF.CG.EI.HF.FG.GI∵BD等于DE等于EC等于>∠1等于∠2等于∠3
又∵∠1等于∠4+∠7∠2等于∠5+∠8∠3等于∠6+∠9
如果能证明∠4等于∠5等于∠6即可得出∠7等于∠8等于∠9
则∠BAD等于∠DAE等于∠EAC(一角三分)
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证明(如附图二)已知:BD等于DE等于EC求证:∠4等于∠5等于∠6
∠4等于∠10
∠7等于∠7
同理可证
∠5等于∠11
∠8等于∠8
由:AF•,AD等于AH•,AB
AF•,AD等于AG•,AE
同理可证:∠8等于∠9故得∠BAD等于∠DAF等于∠EAC(一角三分成立)
作一任意角∠A,将∠A平均3等分(∠A的范围36°<α≤108°)
解法:1、先作∠A的平分线AM(Am射线,An射线)
2、在∠A的平分线上任意取一点O
3、作∠AOB等于72°交∠A的一边Am射线于B点,作∠AOC等于72°交∠A的另一边An射线于C点
4、以OB为半径,O点为圆心画圆,则圆周必经C点∵在ΔABO和ΔACO中.AO等于AO∠BOA等于∠COA等于72°∠BAO等于∠CAO∴在ΔABO≌ΔACO
∴OB等于OC则圆必经C点,同时交AD于D点
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5、以BD为单位在圆O的周长截取BE、EF、FC、CD(根据正五边形内角和得出)
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则得BD等于BE等于EF等于FC等于CD
BD等于BE等于EF等于FC等于CD(圆内正五边形的弧长相等,弦长相等)
6、连接AE、AF交元O于G、H
则:∠BAE等于∠EAF等于∠FAC(一角三分)
证明:如附图(三)圆周交AB于J、交AC于K
连接JE、BG、EH、FG、HC、FK
∵∠1等于∠2∠3等于∠4∠5等于∠6
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BE等于EF等于FC
(根据在同圆中等弧或同弧所对的圆周角相等)
则得出:∠7等于∠8∠9等于∠10∠11等于∠12(根据同上)
则得出:∠2等于∠7+∠13∠3等于∠10+∠14∠5等于∠12+∠15
已知:∠1等于∠2等于∠3等于∠4等于∠5等于∠6
如果能证明∠7等于∠10等于∠12等于∠8等于∠9等于∠11
即可得出∠13等于∠14等于∠15(一角三分)
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已知如附图四BE等于EF.求证:JG等于GH
证明:∠7等于∠8
∠13等于∠13
同理:∠9等于∠10
∠14等于∠14
由:AG•,AE等于AJ•,AB
AG•,AE等于AH•,AF
同理可证∠14等于∠15
给一任意角平均三等分第三种情形(108°<α≤216°)
作一任意角∠A,范围在(108°<α≤216°)将∠A平均三等分
解法:(如附图五)
先作∠A的平分线AM.(Am射线,An射线)2、在∠A的平分线上任意取一点O
3、作∠AOB等于72°交∠A的一边∠Am射线于B点,作∠AOC等于72°交∠A的另一边An射线于C点
4、以O点为圆心,OB为半径画园,则园周必经C点∵在ΔABO和ΔACO中.AO等于AO∠BOA等于∠COA等于72°∠BAO等于∠CAO∴在ΔABO≌ΔACO∴OB等于OC则圆必经C点,
5、以O点为顶点,以OB为始边顺时并依次作∠BOD等于72°∠DOG等于72°
∠GOC等于72°分别交圆周于D、,延长OA交圆于K连结BD、DG、GC、CK、KB便是圆内接正五边形.
∴BD等于DG等于GC等于CK等于KB
6、连接AD、AG
则:∠BAD等于∠DAG等于∠GAC(一角三等分)
证明:(如附图六)连结BD、DG、GC,延长BA交圆周于F,延长DA交圆周于H,延长GA交圆周于I,延长CA交圆周于J,连结FH、HI、IJ、BH、GH、CI.
则:∠BAD等于∠4∠DAG等于∠1∠GAC等于∠7(对顶角).则∠4等于∠5+∠6
∠1等于∠2+∠3∠7等于∠8+∠9
则∠2等于∠5等于∠8(同圆等弧所对的圆周角相等)
如果能证明:∠6等于∠3等于∠9
也就能证明:∠4等于∠1等于∠7则∠BAD等于∠DAG等于∠GAC
证明:(如附图六)在ΔABD和ΔAHF中∠BAD等于∠HAF∠BDA等于∠HFA
∴ΔABD∽ΔAHF等于>等于>AD•,AH等于AF•,AB等①
同理在ΔACG和ΔAIJ中∠CAG等于∠IAJ.∠CGA等于∠IJA
∴ΔACG∽ΔAIJ等于>等于>AG•,AI等于AJ•,AC等②
同理在ΔADG和ΔAIH中∠DAG等于∠IAH.∠ADG等于∠AIH
∴ΔADG∽ΔAIH等于>等于>AD•,AH等于AI•,AG等③
由此得出①等于②等于③等于>
可得出∠6等于∠9等于∠3
∠2等于∠5等于∠8
(一角三等分)
作者简介:
王振君,男(1960年7月-)辽宁昌图县人,现居住于黑龙江省齐齐哈尔市龙江县黑岗乡索伯台村