非盲图像复原综述

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摘 要 ：作为目前图像处理领域的研究重点,图像复原可移除图像中的模糊与噪声,具有重要的理论价值和广阔的应用前景.为使图像复原的研究被人们所了解,该文首先对图像复原做了简单的描述,接着介绍了近年来出现的一些非盲图像复原算法,包括基于总变分模型的算法、基于Bregman迭代的算法和基于稀疏表示的算法等,最后基于对现有算法的了解与分析,总结了图像复原研究的难点与趋势.

关 键 词 ： 图像复原； 总变分模型； Bregman迭代； 稀疏表示； 优化问题

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2013）07-1642-03

由于噪声、模糊等不利因素的影响,数字图像的质量通常难以令人满意,无法对其进一步进行研究和利用.观测到的退化与理想的原始图像之间的关系可表示为：

式中,y表示观测图像；A表示模糊算子；x表示原始图像；n表示加性噪声.因此,图像复原的目的是在模型（1）的框架下,估计最优的原始图像x,这是一种典型的线性逆问题.图像复原已成为图像处理领域乃至计算机领域的研究热点,其研究可追溯到上个世纪六十年代,经过逾半个世纪的发展,不断有新的算法和技术涌现.目前,图像复原算法主要分为非盲（non-blind）图像复原算法和图像盲复原算法两大类.当模型（1）中的模糊算子A是已知的,图像复原被称为非盲的图像复原.非盲图像复原算法主要有：基于总变分（TV,total variation）模型的算法、基于Bregman方法的算法和基于稀疏表示的算法等.

1.基于TV模型的图像复原算法

TV模型亦称ROF模型,可表示为：

由L. I. Rudin、S. Osher和E. Fatemi提出[1],其最突出的优点是抑噪的同时可保留图像边缘等重要信息,该模型已成为图像复原、图像去噪[2]和图像修复[3]等领域使用最广泛的先验模型之一.由于TV模型是不可微分的,基于TV模型的算法需重点考虑图像复原的数值解问题.为求解经典的TV/L2问题,Y. L. Wang等人[4]建立了一种半二次化（quadratic minimization）模型,采用二次最小化方法计算该模型以提高图像复原的效率.J. F. Wang等人[5]扩展了Y. L. Wang等人的算法,将其用于彩像复原问题的处理.A. Beck等人[6]提出了一种基于Nesterov梯度法的TV图像复原算法,该算法具有全局收敛速率.基于变量分离和交替方向法（ADM,alternating direction method）,M. K. Ng等人[7]将TV/L2模型分解为更简单的子问题进行求解,ADM方法的优点是通过有限步迭代即可得到问题的精确解.结合增广拉格朗日法,S. H. Chan等人[8]提出了与M. K. Ng等人类似的算法,该算法主要用于复原视频图像序列.尽管TV模型可保留图像细节,但复原图像的平滑区域产生阶梯效应（staircase effect）,因此一些研究提出在TV模型中加入高阶项以克服其缺点.例如,F. Li等人[9]将TV滤波器和四阶PDE滤波器结合复原图像,避免了阶梯效应的出现.原始-对偶法（primal-dual method）是一类求解经典TV图像复原比较有效的方法.它最早由T. F. Chan等人提出[10],为了消除模型（2）目标函数的奇异性和不可微性,T. F. Chan等人用新变量替换了其欧拉-拉格朗日方程中的x/|x|,得到如下的模型：

及其对偶模型,并通过半光滑牛顿法（semiooth Newton method）对模型（4）及其对偶模型进行求解.M. Hintermuller等人的算法具有超线性的收敛速度,相比T. F. Chan等人的算法,该算法对对偶变量没有过多的约束.E. Esser等人[12]修改了原始对偶混合梯度（PDHG,primal-dual hybrid gradient）算法,将TV最小化问题转化为等价的鞍点问题（saddle point problem）,并利用不精确Uzawa算法求解该鞍点问题.由最终的实验结果,E. Esser等人的算法略优于PDHG算法.A. Chambolle等人[13]将TV优化问题转化为更通用的鞍点问题,采用了与PDHG类似的算法处理该鞍点问题.针对不同的具体问题,A. Chambolle等人的算法有着不同的收敛速率.

2.基于Bregman迭代的图像复原算法

近年来,在图像复原领域,Bregman迭代因其简单、稳定、速度快和效率高而受到越来越多的关注.Bregman迭代是一系列以Bregman距离为基础的方法的总称,包括了经典的Bregman方法、线性（linerized）Bregman方法和分裂（split）Bregman方法等.Bregman迭代方法的基本思想是将优化问题分解为等价的非约束优化子问题,其中某些子问题的目标函数由Bregman距离定义.该方法最早S. Osher等人[14]引入图像复原领域,用以改进传统方法对TV模型的处理.为提高经典Bregman方法的性能,将该方法中的二次项0.5×||Ax-y||2 2替换为,并加入误差项0.5×μ||x-xk||2 2,W. T. Yin等人提出了线性Bregman方法[15],并将其应用于压缩传感问题[16].为适应模糊矩阵的变化,在对线性Bregman方法修改的基础上,结合稀疏表示技术,J. F. Cai等人[17]提出了一种紧框架域的图像复原算法,该算法可以快速找到图像复原问题的稀疏解.为进一步提高经典Bregman方法的性能,T. Goldstein等人[18]提出了适用更通用的L1正则化问题的分裂Bregman方法.它可看作Bregman方法和算子分裂（operator splitting）相结合的一种方法,且与Douglas-Rachford分裂方法和向前-向后（forward-backward）分裂方法本质上属于同一种方法[19].J. F. Cai等人[20]将分裂Bregman方法用于基于分析的图像复原问题,分析算子为紧框架小波.相比传统的罚函数法和连续法（continuation method）,该算法收敛速度更快,更稳定,参数在迭代过程保持不变.S. Setzer等人[21]为泊松模糊图像复原建立新的能量泛函,它由I-散度（divergence）和TV正则项构成,分裂Bregman方法用以求解该能量泛函.该算法无需内部迭代,相比同类算法更加高效.针对基于有界总变分的图像复原问题,X. W. Liu等人[22]引入扩展的Bregman迭代方法以快速获得最优解.除此之外,X. Q. Zhang等人[23]还提出了一种Bregman化的算法分裂算法,该算法用向前-向后分裂方法求解Bregman迭代子问题,它可应用于非局部（nonlocal）TV图像复原和压缩传感等问题. 3 基于稀疏表示的图像复原算法

信号的稀疏表示来自对压缩传感问题的研究,作为目前理论研究的一大热点,其在图像处理领域已经得到了较广泛的应用,基于稀疏表示的图像复原算法亦越来越多.针对图像复原问题,K. Bredies等人[24]建立了以lp范式为约束项的优化模型,并用迭代硬收缩（hard shrinkage）方法求解该优化模型.A. Beck等人[25]为图像复原问题 minx{F（x） 等于 f（x） + g（x）} 建立了二次逼近模型,并为计算该模型提供一种快速的迭代收缩-阈值算法,该算法比经典的迭代收缩-阈值算法更快.F. X. Dupe等人[26]将图像复原表示为凸泛函最小化问题,该泛函由数据保真项（data-fidelity term）,稀疏促进项（sparsity-promoting term）和附加项组成.一种快速的向前-向后分裂方法被用于最小化泛函,为自适应选择参数,文中还引入了广义交叉检验法（GCV,generalized cross validation）.基于边界优化的思想,娄帅等人[27]通过类期望最大化获得罚函数优化问题的解.该算法采用了轮廓波（contourlet）分解表示图像,与基于小波变换的算法相比,运算代价较低,能更好保护图像的边缘和细节信息.针对单一正则项存在的不足,N. Pustelnik等人[28]提出了包含多正则项的图像复原问题,一种快速的并行邻近算法（parallel proximal algorithm）被用于处理该问题.N. Pustelnik等人的算法可利用各种正则化技术的优点,并克服其相应的缺点.小波基、小波框架、轮廓波等常作为字典用于分解图像,然而它们无法自适应地刻画图像的结构特征,通过学习获得的字典可具有更好的自适应性.W. S. Dong等人[29]利用主成分分析（principal ponent analysis）技术学习图像子字典（sub-dictionaries）,并自适应地选择子字典组成字典分解图像.基于非局部自相似约束（non-local self-similarity constraint）和自适应的分段自回归模型（piecewise autoregressive models）,I. Daubechies等人[30]构造了图像复原的l1优化问题模型,并提出用迭代收缩算法处理该优化问题.

4.结论

图像复原是一项具有广阔发展空间和应用前景的技术.随着信号处理技术、控制技术、估计理论、数值分析方法的进步,新的复原算法会不断地涌现.对于未来可能出现的新算法,多通道图像的复原、复原的实时性、退化参数的自适应选择、模糊的辨识、稀疏表示/压缩传感技术、Bregman迭代及其他优化技术等将是其研究的重点内容.

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