中考中与圆相关的压轴题

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新课程标准中对圆的相关知识点的要求较以往有所降低,但因为圆所包含的知识点较多以及和其他章节知识点的联系密切,因而使它成为中考压轴题命题的重点章节.下面举例说明.

一、 计算与圆

运算能力是初中阶段培养的重要能力之一.圆相关的计算往往和三角形相似、勾股定理、三角函数等关系密切.因而以圆为背景的计算就成了考查众多知识点的重要载体.

例1 （2012成都市）如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K.

（1） 求证：KE等于GE；

（2） 若KG2等于KD·GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由；

（3） 在（2）的条件下,若sinE等于,AK等于2,求FG的长.

分析 圆中的切线的性质、垂径定理等为勾股定理及解直角三角形的应用创造了条件；圆中的切线的性质、圆周角定理等为相似三角形的判定及性质的应用提供了广阔的平台.

解：（1） 如答图1,连接OG.

∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA等于90°,

∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG等于90°,

又OA等于OG,∴∠OGA等于∠OAG,

∴∠KGE等于∠AKH等于∠GKE,

∴KE等于GE.

（2） AC∥EF,理由为：

连接GD,如答图2所示.

∵KG2等于KD·GE,即等于,

∴等于,又∠KGE等于∠GKE,

∴△GKD∽△EGK,

∴∠E等于∠AGD,又∠C等于∠AGD,

∴∠E等于∠C,

∴AC∥EF；

（3） 连接OG,OC,如答图3所示.

sinE等于sin∠ACH等于,设AH等于3t,则AC等于5t,CH等于4t,

∵KE等于GE,AC∥EF,∴CK等于AC等于5t,∴HK等于CK—CH等于t.

在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2等于AK2,

即（3t）2+t2等于（2）2,解得t等于.

设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC等于r,OH等于r—3t,CH等于4t,

由勾股定理得：OH2+CH2等于OC2,

即（r—3t）2+（4t）2等于r2,解得r等于t等于.

∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形,

在Rt△OGF中,OG等于r等于,tan∠OFG等于tan∠CAH等于等于,

∴FG等于等于等于.

二、 动点与圆

动点与圆问题属于动点问题的一部分.解决动点问题的关键是找到运动过程中所蕴含的变量之间的关系以及运动过程中的不变量.

例2 （2012上海市）如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB等于90°,点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.

（1） 当BC等于1时,求线段OD的长；

（2） 在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；

（3） 设BD等于x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.

分析 在点C运动的过程中,由垂径定理及三角形的中位线定理很容易知道线段DE的长度不变.运动过程中∠DOE角度的不变性是解决问题（3）的关键.

解：（1） 如图（1）,∵OD⊥BC,

∴BD等于BC等于,

∴OD等于等于；

（2） 如图（2）,存在,DE是不变的.

连接AB,则AB等于等于2,

∵D和E是中点,

∴DE等于AB等于；

（3） 如图（3）,

∵BD等于x,

∴OD等于,

∵∠1等于∠2,∠3等于∠4,

∴∠2+∠3等于45°,

过D作DF⊥OE.

∴DF等于,EF等于x,

∴y等于DF·OE等于（0

三、 函数与圆

函数与圆是初中数学的重要内容,也是支撑初中数学学科体系的主要内容之一,历年来在中考试卷中保持着较高的考查比例.两者结合起来考查,这对学生一次函数、二次函数以及圆知识的综合应用有着较高的要求,是近年全国各地数学中考的热点、难点.

例3 （2012广州市）如图,抛物线y等于x2—x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C.

（1） 求点A、B的坐标；

（2） 设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标；

（3） 若直线l过点E（4,0）,M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.

分析 （1） A、B两点为抛物线与x轴交点,令y等于0,解一元二次方程即可求解.

（2） 根据题意求出△ACD中AC边上的高,设为h.在坐标平面内,作AC的平行线,平行线之间的距离等于h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成.因此先求出直线AC的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得D点坐标.这样的平行线有两条,如答图1所示.

（3） 本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义.

因为过A、B点作x轴的垂线,其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形,这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以AB为直径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与A、B点构成直角三角形,从而问题得解.这样的切线有两条,如答图2所示.

答案：

（1） A、B点的坐标为A（—4,0）、B（2,0）.

（2） 如答图1,D点坐标为：D（—4,—）,D（—1,）.

（3） 如答图2,直线l的解析式为y等于—x+3或y等于—x—3.

四、 新概念与圆

让新概念与圆相结合,是一种创新.其知识点还是圆中的知识点,只是换了一种说法而已.要求学生在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解“新定义”,做到“化生为熟”,现学现用,其目的是考查学生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力等.

27. （2012南京市）如图,A、B是⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点（P不与A,B重合）,我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角.

（1） 已知∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角.

① 若AB是⊙O的直径,则∠APB等于?摇?摇 ?摇；

② 若⊙O的半径是1,AB等于,求∠APB的度数.

（2） 已知O是⊙O外一点,以O2为圆心做一个圆与⊙O相交于A、B两点,∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角,直线PA、PB分别交⊙O于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合）,连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系.

分析 题目中的知识点就是圆周角与圆心角之间的关系,只是换了一种说法而已,还要用到直径所对圆周角为直角,勾股定理等知识.分类讨论并且画出图形来帮助分析,是解决本题的关键.

答案：（1） ①∠APB等于90°.

② ∠APB等于45°或135°

（2） P根据点P在⊙O上的位置,分以下四种情况：

如图1,点P在⊙O外,如图所示,∠APB等于∠MAN—∠ANB；

如图2,点P在⊙O外,如图所示,∠APB等于∠MAN+∠ANB—180°；

如图3,点P在⊙O外,如图所示,∠APB等于180°—∠MAN—∠ANB；

如图4,点P在⊙O内,如图所示,∠APB等于∠MAN+∠ANB.