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图1
题目：（2013年浙江绍兴卷第24题）如图1,抛物线y等于（x-3） （x+1）与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧）,与y轴交于点C,点D为顶点.
（1）求点B及点D的坐标；
（2）连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.
①若线段BD上一点P,使∠DCP等于∠BDE,求点P的坐标；
②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN等于∠BDE,求点M的坐标.
分析： （1）令y等于0,则（x-3） （x+1）等于0,
解得x1等于3,x2等于-1.
因为点A在点B左侧,
所以B（3,0）.
因为y等于（x-3） （x+1）等于x2-2x-3等于（x-1）2-4,
所以D（1,-4）.
图2
（2）①解法1：连结BC,过点C作CG⊥直线DE于点G,设CP与直线DE交于点F（如图2）.
易知C（0,-3）,则BC等于32,CD等于2,BD等于25,
所以BC2+CD2等于BD2,
所以∠BCD等于90°.
因为∠DCP等于∠BDE,
所以∠DCP+∠CDF 等于∠BDE+∠CDF,
即∠CFG等于∠BDC,
又因为∠CGF等于∠BCD等于90°,
所以△CGF∽△BCD,
所以CGBC等于GFCD,即132等于GF2,
所以GF等于13,
所以F（1,-103）.
所以直线CP的解析式为y等于-13x-3,
易求直线BD的解析式为y等于2x-6,
联立解方程组
y等于-13x-3,
y等于2x-6,得
x等于97,
y等于-247,
所以P（97,-247）.
图3
解法2：连结BC,延长PC与x轴交于点F（如图3）.
因为DE∥y轴,
所以∠DCG等于∠CDE,
因为∠DCP等于∠BDE,
所以∠DCG+∠DCP等于∠CDE+∠BDE,
即∠OCF等于∠GCP等于∠CDB,
又因为∠COF等于∠DCB等于90°,
所以△COF∽△DCB,
所以OCCD等于OFCB,即
32等于OF32,
所以OF等于9,
所以F（-9,0）.
所以直线CP的解析式为y等于-13x-3,以下同解法1.
解法3：在DE的延长线上取点G,使EG等于EB,连结BG（如图4）,
则∠CDF等于∠DGB等于45°,
又因为∠DCP等于∠BDE,
所以△CDF∽△DGB,
所以CDDG等于DFGB,即
26等于DF22,
所以DF等于23.
所以F（1,-103）,以下同解法1.
图4图5
②（Ⅰ）若点M在抛物线的对称轴左侧,连结BC,交直线DE于点F（如图5）.由第①小题可知∠NCO等于∠CDF等于∠CFD等于45°,∠MCN<∠NCO=45°,所以∠CMN=90°-∠MCN>45°,而∠BDE<∠CFD=45°,故在抛物线的对称轴左侧不存在一点M,使∠CMN=∠BDE.
（Ⅱ）若点M在抛物线的对称轴右侧,
当点M在x轴上方,
图6
解法1：作∠BEH等于45°,交DB的延长线于点H,设CM与直线DE交于点G（如图6）.
易求直线EH的解析式为y等于x-1,
直线BD的解析式为y等于2x-6,
联立解方程组
y等于x-1,
y等于2x-6,得x等于5,y等于4,
所以H（5,4）,
所以EH等于42.
因为∠DCG等于90°+∠CMN,∠EBH等于90°+∠BDE,∠CMN等于∠BDE,
所以∠DCG等于∠EBH,
又因为∠CDG等于∠BEH等于45°,
所以△CDG∽△BEH,
所以CDBE等于DGEH,即
22等于DG42,
所以DG等于4,
所以G（1,0）,此时点G与点E重合.
所以直线CG的解析式为y等于3x-3,
联立解方程组
y等于3x-3
y等于（x-3） （x+1）,得
x1等于0
y1等于-3,
x2等于5
y2等于12.
所以M（5,12）.
图7
解法2：设MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G（如图7）.
因为∠CMN等于∠BDE,
所以tan∠CMN等于tan∠BDE,
即CNMN等于BEDE等于
12,
所以MN等于2CN.
易证△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
设CN等于a,则NF等于a,MN等于2a.
所以CF等于2a,MF等于a,
所以MG等于FG等于22a,
所以CG等于322a,
所以M（22a,-3+322a）.
代入y等于（x-3） （x+1）,解得a等于52,
所以M（5,12）. 当点M在x轴下方,
图8
解法1：作∠BEH等于45°,交BD于点H,设CM与直线DE交于点G（如图8）.
易求直线EH的解析式为y等于-x+1,
直线BD的解析式为y等于2x-6,
联立解方程组
y等于-x+1
y等于2x-6,得
x等于73
y等于-43,
所以H（73,-43）,
所以EH等于432.
因为∠CMN+∠DCG等于90°,∠BDE+∠EBH等于90°,∠CMN等于∠BDE,
所以∠DCG等于∠EBH,
又因为∠CDG等于∠BEH等于45°,
所以△CDG∽△BEH,
所以CDBE等于DGEH,即
22等于DG 432,
所以DG等于43,
所以G（1,-83）.
所以直线CG的解析式为y等于13x-3,
联立解方程组
y等于13x-3
y等于（x-3） （x+1）,得
x1等于0
y1等于-3,
x2等于73
y2等于-209,
所以M（73,-209）.
图9
解法2：延长MN交y轴于点F,过点M作MG⊥y轴于点G（如图9）.
因为∠CMN等于∠BDE,
所以tan∠CMN等于tan∠BDE,
即CNMN等于BEDE等于12,
所以MN等于2CN.
易证△CNF,△MGF均为等腰直角三角形,
设CN等于a,则NF等于a,MN等于2a.
所以CF等于2a,MF等于3a,
所以MG等于FG等于322a,
所以CG等于22a,
所以M（322a,-3+22a）.
代入y等于（x-3） （x+1）,解得a等于729,
所以M（73,-209）.
综上所述,符合题意的点M坐标为（5,12）或（73,-209）.
[浙江省绍兴市上虞区竺可桢中学 （312352）]