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【摘 要】数理统计课程是金融数学的必修课,作为重要的数学工具在金融领域的分析中发挥着举足轻重的作用.本文通过讨论数理统计在金融产品定价模型、计量分析、风险评估、决策分析和风险管理等方面的运用方法来阐述数理统计在金融领域中的应用.
【关 键 词】数理统计现代金融定价计量金融风险管理
数理统计可以看作是概率论的推广应用,其中许多内容都是建立在概率论基础之上的.然而,数理统计作为纯数学的一个方向,如果仅仅研究数理统计的数学性质,就脱离了数学在科学研究中发挥的作用.数学以其逻辑性和严密性被其他各个学科作为有力的工具运用于其分析应用中.数理统计也是因为其逻辑和严密性被引用到金融领域中,广泛地运用于产品定价,计量分析等方面.
一数理统计在产品定价中的作用
现代金融中,由于金融创新的不断发展,涌现出许多新的金融产品和金融工具,尤其是金融衍生工具的大量涌现使得数学在金融中的使用更加具体和广泛,它们的定价成为金融学中重要的研究内容.
1．嵌入期权的结构性产品的定价模型
结构性产品多是由期权与其他金融工具组合得到,如可转换债券由看涨期权与普通债权组合而成.罗伯特诺普的《结构性产品》这本书中对20种常见的结构性产品给出了详细的介绍,在他的介绍中,我们再次只关心定价问题,给出一个简单的结构性产品的定价,“股票收益性存款”的定价模型.
股票收益性存款是由一种零息票存款和看涨期权构成的结构性产品,因此,其公式为：
Ped＝Call（S,K,σ,r,T,δ）＋Capital
在前边已经知道Call（S,K,σ,r,T,δ）是期权价格的定价用到了数理统计方法进行模拟计算,那么Ped的计算方式中就必然用到了数理统计的计算方法.Capital是指本金或者承诺偿还本金的百分比.
2．不含期权的产品定价
嵌入期权的金融产品知识最近涌现出的金融产品中很少的一部分,如最近几年出现的CDO（债务抵押债券）,CDS（信用违约互换）等出名的金融产品都与违约率有关,当然也存在规避其他风险的金融产品.CDO的构建规则中就用到数理统计统计量和抽样分布的理论,另外在分析其构建的基础工具时也需要方差分析和参数估计的方法来计算构建出的CDO的统计特性.
二数理统计在计量分析中的作用
计量分析作为数理统计的应用和延拓,在金融学中应用最为广泛.其中包括计量模型的参数估计,参数的显著性检验和参数置信区间的确定,以及计量中时间序列模型的分析.
在金融市场上,分析资本市场总量与货币供给量之间的关系,即建立某种资本市场总量与政府货币供给量之间的模型.模型的确定首先要具体考虑资本市场和货币供给的经济学关系,在这种关系的基础上,运用数理统计的知识,确定某一个或为数不多的几个模型的形式,然后用参数估计的方法,代入统计数据,计算参数,并计算模型的解释能力R2.
计量分析中大量用到了数理统计中的显著性检验,包括对参数的显著性检验用到t统计量分布,模型总体的显著性检验用到F统计量的分布.构造统计函数,检验参数是否为UMVUE,或求参数的UMVUE等.
三数理统计在风险评估和决策分析中的作用
不同的学者对风险的评估有不同的模型进行分析判断,然而在对风险的量化处理的过程中都用到了参数估计等方法,因为根据测量误差和其他误差的存在,不可能通过某种特定的函数式把所有的被解释变量精确地用解释变量表达出来.在风险一定的约束下,获得最大的收益或者在收益一定的约束下规避风险,两种方法都需要进行风险的评估.评估就是对历史数据所做的统计分析,并进行未来预测的一种方法.为完成这种评估,就需要概率论与数理统计的相关知识,分析其出现概率的大小,构造合适的统计量进行显著性的检验.最后综合比较各种方案的风险收益,模型误差等,作出最后的决策.
如对信用风险的计量模型中常分为四大模型：信用度量模型、KMV模型、CreditRisk模型和信用组合观点模型.信用度量模型中主要运用Var的思想度量风险；KMV模型中把企业股票看作欧式看涨期权,以期权定价的形式来度量风险；CreditRisk模型则是把贷款组合违约概率分布近似看作泊松分布进行衡量；信用组合观点模型利用计量经济学的模型,根据历史数据模拟概率分布.可见概率论与数理统计在风险评估和决策分析中的巨大作用.
四数理统计在风险管理中的作用
不同金融工具存在不同程度和不同方式的风险,当某一金融工具发生损失时,另外一种金融工具可能发生盈利,因此,我们的主要思想就是通过金融工具的组合,使损失与盈利相抵.风险因其不确定性可能为投资者造成损失,但是这种不确定性很大程度上是可识别和度量的.在经典的现代资产组合理论中,创始人马克维茨就通过相关系数反映两个或多个随机变量的之间变动程度的相关关系,根据相关系数,运用数理统计中的相关知识,就可以计算组合的方差,也就是风险.
现代风险管理中多运用衍生金融工具,如金融期权,期货,互换交易进行风险的对冲.这些衍生工具的定价需要定价模型的作用,而且,定价模型中有许多希腊字母代表的概念,如Delta值、Gamma值、Vega值,正是这些值的加权求和,最终降低损失程度.这些值的运算中需要综合数学中各个学科的方法,如求导、求偏导、概率分布函数、顺序统计量等各种方法,数理统计作为重要的应用,为风险管理提供了精确的数学逻辑推导.