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【摘 要】本文参照财富分配的基尼系数定义招生人数分配公平度,保证公平度在合理范围内,建立学科综合实力最大化的线性规划模型,求出综合实力最大的分配方案；进一步考虑学生与教师的双向选择,利用学生对教师研究方向的偏好程度,建立学生与教师研究方向之间的二部图,以分配效益为二部图权重,建立二者之间最优匹配模型,利用Kuhn-Munkras算法求解最大效益的分配方案；由于招生数量受招生单位培养能力、师资力量、科研水平多因素影响,因此,参考已存在的专家打分,利用层次分析方法确定各学科的权重,求出各学科的分配人数.
【关 键 词】公平度线性规划二部图Kuhn-Munkras算法层次分析
一、问题提出
高等学校研究生招生指标分配问题,对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的取得有直接影响.研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配.其中教师岗位分为七个岗位等级（一级岗位为教师的最高级,七级岗为具备硕士招生资格的最低级）.本文综合考虑教师的学科方向、科研经费、发表论文数、专利数、获奖数、获得优秀论文奖数量等多方面因素进行更加科学全面的分配.
二、线性规划模型
1、问题分析
考虑到学科的特点和学科发展的需要,进行差异分配,招生数量分配悬殊会产生严重的分配不公平问题；招生数量分配严格平均会阻滞科技实力发展；因此需要给出公平度的度量,使得公平度在可接受范围内.差异分配的主要目的是使得学科综合实力达到最高,因此需要建立学科综合实力的度量,求出在公平度约束下的最大综合实力.
2、模型建立
（1）建立学科综合实力的度量.建立学科综合实力的度量主要是为了分配招生数量,因此所求优化变量为招生数量xi（i等于1等11）代表每个学科的招生数量；以每个学科的贡献率wi（i等于1等11）代表每个学科的贡献率为权重.因此,学科综合实力为wixi.优化目标：maxwixi.
（2）建立学科综合综合公平度的度量.借鉴经济学基尼系数对财富对人均的分配的公平度的度量思想,以下建立招生人数对学科的分配的公平度的度量.严格的公平是招生人数按照各个学科老师人数所占百分比进行分配；严格的不公平是分配全部招生名额给一个专业的一个教师.基于以上两种极端情况得到分配曲线：r等于f（p）（借鉴劳伦茨曲线）,r表示各专业招生人数百分比,p表示各专业教师人数百分比.函数关系曲线见图1.
当分配曲线弧度越大表示分配越不公平,反之,越接近曲线r等于p则越公平.设实际分配曲线和分配绝对平等曲线之间的面积为A,实际收入分配曲线右下方的面积为B.则公平度G等于.如果A为零,G为零,表示招生人数分配完全公平；如果B为零则系数为1,分配绝对不平等.该系数可在零和1之间取任何值.分配越是趋向平等,曲线的弧度越小,公平度也越小,反之,分配越是趋向不平等,曲线的弧度越大,那么公平度数也越大.因此G可以作为公平度.
3、模型计算
（1）公平度计算.G等于,下三角面积为A+B等于S等于,A等于S-f（p）dp.f（p）dp表示右下角的面积具体计算采用数值积分的离散算法.按分配招生人数由低到高顺序排队,分为教师人数相等的n组,从第1组到第i组教师人数累计分配招生人数占全部教师总分配招生人数的比重为Wi,则f（p）dp等于si.si表示将曲线分割的每个小梯形的面积si等于.推导出公平度计算公式：
G等于1-（2Wi+1）
Wk等于（xi为分配的招生人数）
（2）每个学科的贡献率wi（i等于1等11）的计算公式：学科A贡献率等于,贡献A的贡献等于giqi.gi表示学科内部各主要项的贡献,qi表示学科内部各主要项的贡献权重.学科内部各主要项包括项目到账经费合计,论文篇数合计,申请专利数合计,获得奖励个数合计,获得优秀硕士论文篇数五项指标.学科内部各主要项贡献等于,学科内部各主要项贡献权重等于.
公平度尺度（借鉴基尼系数）：绝对平均公平度<0.2比较平均0.2<公平度<0.3相对合理0.3<公平度<0.4差距很大0.4<公平度
由此建立以下单目标线性规划模型：
MAXwixi
OPT.G等于1-（2Wi+1）<0.4Wk=
?圳（n-i-c）xi-cxn>0c等于0.3n-0.5
三、二部图匹配模型
1、模型分析
由于学生对教师研究方向的偏好属于模糊概念,因此利用模糊数学隶属度思想,量化学生i对方向j的偏好程度.以0表示该学生i对研究方向j没有任何偏好；以1表示该学生i对研究方向j有绝对偏好；以0—1之间的数据表示该学生i对研究方向j的偏好程度aij.
2、模型量化
模型中招生数量的分配效益主要是基于假设：学生兴趣程度决定学生未来研究发展的高度因此,效益等于学生对该方向偏好程度×该方向重要性.研究方向的重要性由各领域专家对该学科各个方向给出分数,采用层次分析法给出该方向的权重向量W等于[w1,w2等wn]（假设该学科有n个研究方向）.
3、模型建立
定义：G等于
4、Kuhn-Munkras算法
KM算法求的是完备匹配下的最大权匹配：在一个二分图内,左顶点为X,右顶点为Y,现对于每组左右连接xiyi有权wij,求一种匹配使得所有wij的和最大.该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的.设顶点xi的顶标为A[i],顶点yi的顶标为B[j],顶点xi与yi之间的边权为wij.在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边（i,j）,A[i]+B[j]>等于wij始终成立.由二分图中所有满足A[i]+B[j]>等于wij的边（i,j）构成的子图（称做相等子图）有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配.四、层次分析法
1、模型假设和相关定义
（1）模型假设.所有指标准确反映了招生单位各个院系真实的招生能力；每位专家给出的评价权重是客观的；分配给招生单位各院系的招生计划数只与所计算出的权重有关；采用1～9标度法,表示元素ui与元素uj的相对重要性aij,且aij等于,,等,1,2,等9,aij值越大,则元素ui比元素uj越重要.
（2）相关定义.定义1权重：在递阶层次结构中,设上一层元素C为准则,则其所支配的下一层元素u1,u2,等un对于准则C相对重要程度即权重,其中,n为元素个数.定义2判断矩阵：综合考虑某一层中的各元素,对元素作两两相对比较,得到的矩阵为判断矩阵,表示为：
A等于（aij）n×n等于a11a12等a1na21a22等a1n等等an1an2等ann
其中,aij表示元素ui相对于元素uj的重要程度,按1～9标度法对重要性程度赋值.判断矩阵A具有下列性质,即aij>0,aij等于1/aji,aii等于1（i,j等于1,2,等,n）.定义3完全一致性：若判断矩阵A等于（aij）n×n满足aij等于aik×akj（i,j,k等于1,2,等,n）,称矩阵A具有完全一致性.若矩阵具有完全一致性,则表明专家对某一层各元素进行两两比较时,其判断保持一致.定义4满意一致性：当层次总排序随机一致性比例CR等于<0.1时,即为达到满意一致性,其中,CI=,为层次总排序一致性指标,RI为层次总排序平均随机一致性指标；姿max为判断矩阵的最大特征值；m为判断矩阵A的阶数.在实际决策中,专家只能进行估计判断,不可能保证给出的判断矩阵具有完全一致性,满意一致性用于检验专家判断思维的一致性.
2、基于层次分析法的招生计划分配模型
（1）构造层次结构.影响招生计划分配的因素众多,仅用一个函数不足以表达它们之间错综复杂的关系,因此必须将这些因素划分成多个层次,逐层进行综合评价.本文将招生计划分配模型分为3层,第1层次为目标层A,即对各院系的全日制硕士研究生的招生计划数进行合理配置；第2层次为准则层B,包括培养能力、师资力量、科研水平、教育水平、就业及政策等,从总体反映各院系招生能力的强弱；第3层次为指标层C,共有12个具有代表性的指标分别对应准则层B中各因素.建立递阶层次结构后,确定上下层元素之间的隶属关系.
（2）构造判断矩阵.构造判断矩阵KA-B,KB-C,KB-C,KB-C和KB-C分别表示相应的准则层B对目标层A,指标层C对准则层B1,B2,B3,B4和B5的两两比较判断.
（3）一致性检验.计算判断矩阵的评价指标,得到各影响因素的权重,其中,CR<0.1,表明各判断矩阵具有满意一致性.
3、模型应用
（1）数据预处理.通过调研和收集相关资料、专家评分等途径,获取高校各学科12个指标的评价数据.因定量与定性指标的量纲不同,使得不同指标的评价数据问变化幅度差异悬殊,因此,应用层次分析模型前,须对指标矩阵DIJ进行数据预处理.
（2）模型检验.采用层次分析模型,计算高校各学科招生的权重,再将其与招生计划总数进行乘积运算,得出全日制硕士研究生招生计划制定中分配给各院系的招生计划数.实证表明,层次分析法可以将决策者的主观判断与政策经验导入模型,加以量化处理,对定性和定量指标进行有效权衡.模型实际应用过程中,由于全日制硕士研究生招生过程中存在政策变化等不确定因素,实际录取时需根据具体情况,对各院系招生人数进行动态调整,因此,可能导致个别学科实际招生数与模型计算结果间存在不可避免的差异.
五、结语
最优效益模型充分考虑了学生的兴趣爱好以及科研方向的重要性,统筹兼顾到学生日后发展以及国家发展需要,达到综合效益最优；最优效益模型利用了现有成熟算法计算,程序化非常利于快速扩展应用.
【参考文献】
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