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摘 要：数学教育由于受传统观念影响,培养出来的学生基础扎实、题能力较强,但数学应用意识薄弱,建模能力不强.针对我国数学教育中存在的问题,结合《普通高中数学课程标准》和多年的教学实践及今后数学教育的发展趋势,主要论述了高中数学建模的步骤和开展数学建模教学的必要性以及如何在课堂中渗透数学建模思想,提出了在不影响学生升学的前提下开展数学建模教学的一些想法.
关 键 词：数学模型；数学建模；模型应用
21世纪是知识经济的时代,数学作为一种工具不仅在科技方面,而且在人们日常生活和工作中有着广泛的应用.以计算机信息技术的广泛应用为标志,数学渗入了自然科学和社会科学的各个领域.时至今日,从社会学到经济学,从物理到生物,几乎每一个学科领域都有数学的身影.另一方面,自第二次世界大战以来,针对技术、管理、工业、农业、经济等学科中的实际问题发展起来一批新的应用数学学科.社会对公民的数学应用能力及创新能力等方面的要求不断提高,这些对数学教育提出了更多、更新的要求,促使人们对数学教育的现状和功能进行深入的思考,数学建模进入中学,正是在这种情况下实现的.
一、数学建模的有关概念
1.数学模型
数学模型指对于现实世界的某一特定对象,为了某一特定的目的,作出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构.它或者能够解释特定现象的现实状态,或者能预测对象的未来状况,或者能提供处理对象的最优决策或控制等.数学中的各种基本概念,都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的.各种数学公式、方程式、定理、理论体系等,都可称为数学模型.如函数是表示物体变化运动的数学模型,几何是表示物体空间结构的数学模型.
2.数学建模
数学建模是建立数学模型并用它解决问题这一过程的简称,也就是通过对实际问题的抽象、简化,确定变量和参数,并应用某些“规律”建立起变量、参数间的关系的确定的数学问题,求解该数学问题,解释、验证所得到的解,从而确定能否用于解决实际问题的多次循环、不断深化的过程.《普通高中数学课程标准》中认为：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程,已经成为不同层次数学教育的重要内容和基本内容.
3.中学数学建模
（1）按数学意义上的理解
在中学中做的数学建模,主要指基于中学范围内的数学知识所进行的建模活动,同其他数学建模一样,它仍以现实世界的具体问题为解决对象,但要求运用的数学知识在中学生的认知水平内,专业知识不能要求太高,并且要有一定的趣味性和教学价值.
（2）按课程意义理解
它是在中学实施的一种特殊的课程形态.它是一种以“问题引领、操作实践”为特征的活动型课程.学生要通过经历建模特有的过程,真实地解决一个实际问题,由此积累数学、学数学、用数学的经验,提升对数学及其价值的认识.其设置目的是希望通过教师对数学建模有目标、有层次的教与学的设计和指导,改变学生的学习过程和学习方式,实现激发学生自主思考,促进学生交流,提高学生学习兴趣,发展学生创新精神,培养学生应用意识和应用数学的能力,最终使学生提升适应现代社会要求的可持续发展的素养.
二、数学建模的步骤
数学建模一般有以下6个步骤.
1.建模准备
了解问题的实际背景,明确建模目的,尽量掌握建模对象的各种信息和数据,寻求实际问题的内在规律,用数学语言来描述问题.
2.建模假设
根据实际对象的特征的建模的目的,对实际问题进行必要简化或理想化,并利用精确的语言提出一些恰当的假设,这是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概不考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以要充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了是处理简单,应尽量使问题线形化、均匀化.
3.模型建立
根据问题的要求和假设,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构建各变量之间的数学关系（数学模型）.这时,我们便会进入一个广阔的应用教学天地,这里在高等数学、概率：“老人”的膝下,有许多可爱的“孩子们”,“他们”是图论、排队论、线性规划、对策论等.一般来说,在建立数学模型时可能用到数学的任何一个分支.同一个实际问题还可以用不用方法建立不同的数学模型.当然数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,所以在达到预期目的的前提下,应该尽可能地采用简单的数学方法建立容易实现的模型.
4.模型求解
利用获取的数据资料,对模型的所有参数做出计算（估计）,可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要复杂的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此,编程和熟悉数学软件包便很重要.
5.讨论与验证
根据模型的特征和模型求解结果,继续分析讨论.将模型分析结果与实际情况进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适合性.如果模型与实际较吻合,则要对计算结果给出其实际含义,并进行解释,说明模型的使用范围和注意事项.如果模型和实际吻合较差,则应该修改假设,再次重复建模过程,直至获得满意的结果.
6.模型应用
把所得到的数学模型应用到实际问题中去,应用方式因问题的性质及建模的目的而异.由上可见,这是个系统的内容,我们有必要对它的教育价值进行分析.
三、中学开展数学建模教学的意义
1.数学建模教学可以激发学生学习动机和兴趣
我们都说兴趣是最好的老师,现代教育学和心理学的研究表明,当学习的材料与学生已有的知识和经验相联系时,学生对学习才会感兴趣.学生缺乏学习数学的兴趣和动力一直是困扰中学数学教育的一个重要问题.这个问题可以通过将数学建模的思想融入常规教学来解决.有许多学生认为：“数学源于生活,生活依靠数学,我喜欢将课堂上所学的知识用于生活中”；“平时做的题都是理论性较强,实践性较弱的题,都是在理想化状态下进行讨论,而数学建模问题贴近生活,充满趣味性,我们愿意研究这样的问题”；“数学建模使我更深切地感受到数学与实际的联系,感受到数学问题的广泛,使我们对学习数学的重要性理解得更为深刻,也使我们更加重视实际应用”.数学建模可以使学生领略到数学的魅力,对数学的学习产生更浓厚的兴趣.数学建模把课堂上的数学知识延伸到实际生活中,呈现给学生一个五彩缤纷的数学世界.数学建模问题如银行存款、手机付费等方面的问题都贴近实际生活,有较强的趣味性,学生容易对其产生兴趣,这种兴趣又能激发学生去更努力地学习数学.2.中学数学建模有利于培养学生运用数学的意识
目前的中学生已学习了很多数学知识,但大多数学生只会用这些知识来解决课本上的习题,对于实际问题不会把所学知识灵活应用,使实际问题教学化,更谈不上创新.数学建模为数学理论和具体实际应用之间架起来了一座桥梁.事实证明,只有将数学与现实背景紧密联系在一起,才能帮助学生真正获得富有生命力的数学知识,使他们不仅理解这些知识,而且能够应用.数学建模的问题都来源于生活,问题的背景都是学生所熟悉的.例如,银行贷款问题、电视塔的高度与信号覆盖面积问题、商场打折销售与购物方案问题等.数学建模就是将这类实际问题适当简化,找出变量与变量之间的关系,转化成数学模型,然后利用数学知识及计算机等工具处理模型.因此,数学建模的过程正是帮助学生学会用数学的思想、方法、语言来表达、描述和解决实际问题的过程.
3.中学数学建模有利于培养学生勇于探索、积极主动的学习方式
在数学建模中学生是主体,老师充当学生的参谋与仲裁.数学模型的建立是通过学生对知识点和概念的操作,自己去发现、设问、设计、探索、归纳、创新的过程,能激发学生对数学的好奇心与求知欲,锻炼克服困难的意志.社会的发展需要终身教育,而学生在学校只能获得其需要的部分知识和初步能力,更多的必须在其后来的人生历程中依靠自主探索、主动学习而获得,只有不断地充实自我才能适应不断变化的社会需要.
4.中学数学建模有利于培养学生想象力、联想力和创造力
由于数学建模的问题都是开放性的,没有统一答案,没有现成模式,也不可能直接利用公式得出结果.因此,需要学生通过收集有价值的数据、查阅大量的文献资料及利用网络去获取有用的知识,分析问题与数学之间的关系,确定一个数学模型,然后进行解决.数学建模过程是一种创造性过程,它需要一定水平的观察力、想象力以及一些灵感和顿悟,往往要求学生充分发挥联想,要求学生面对错综复杂的实际问题,能快速地抓问题的要点,剔除冗长的信息,把握其本质,使问题趋于明确.学生要经历从生活语言、其他学科语言到数学语言的多层次转化,这些将非常有利于锻炼学生的想象力、联想力和创造力.
5.中学数学建模有利于培养学生自学能力和查阅文献的能力
数学建模的对象常常是一些非数学领域的实际问题,需要的很多知识也是学生原来没有学过的,老师不可能用过多的时间为学生讲授,只能通过学生自学和小组讨论来进一步掌握,这将有助于培养学生的自学能力,同时在参加建模过程中,需要学生在有限的时间内从大量资料中迅速找到和汲取自己所需信息,这可以锻炼和提高学生使用资料的能力,这两种能力都是学生将来从事工作和科研所必备的.
6.中学数学建模有利于培养学生的计算机应用能力及论文写作与表达的能力
许多数学建模需要计算机才能完成,许多数学推理、计算、画图都需要相应的数学软件帮助完成,大量的数据也要靠计算机来处理.很多模型的检验也要利用计算机模拟完成.建模论文的编辑、排版、打印也都离不开计算机.因此,通过数学建模将有助于提高学生使用计算机的能力.中学建模的结果常常需要解题报告或论文的形式写出来,这就要求学生必须能够将自己所做的工作用准确严密的语言表述出来.这也是对学生的写作和表达能力的锻炼.
7.中学数学建模有利于培养学生团结协作的精神
传统教育过于强调人与人之间竞争的一面,我们的考试也需要考生单兵作战,不需要也不允许彼此合作.现在中学生大多是独生子女,凡事往往以自我为中心,很少考虑其他人的感受,因此与人合作的能力较差.较复杂问题的数学建模,由于要花费大量的时间和精力,经常以小组合作的形式开展.在同组成员中,有的数学基础好,有的计算机好,有的擅长写作,大家各取所长.这对培养学生相互合作的团队精神极为有益.
四、我国开
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展数学建模教学的现状中国是一个数学教育大国,长期以来形成了一套完整的中学数学教育体系和培养人才的方法.中国学生数学基础扎实、知识系统,有相当强的数学理解能力,在多次国际数学奥林匹克比赛中,成绩斐然.但由于传统的以知识灌输为主的知识教育占主导地位,使教学模式和教育方式过于固定.随着时代的进步和科技的发展,人们越来越觉得数学素质是一个人的基本素质的重要方面之一,而掌握和运用数学建模方法是衡量一个人数学素质高低的一个重要标志.受国际数学教育发展趋势和社会需求的影响,我国中学数学酝酿并进行着一系列的改革,改革的主要目的是要把中学数学与我们周围的现实世界适当联系起来,使学生既能了解数学的用处,达到学以致用的目的,同时也是为了进一步激起广大中学生学习数学的热情,更生动活泼地掌握数学的思想和方法.数学建模进入中学正是我国数学教育改革下的产物.
1.数学建模及相关内容逐步进入中学课堂
受西方国家的影响,20世纪80年代初,数学建模课程引入到我国的一些高校,短短几十年来发展非常迅速,影响很大.1989年,我国高校有4个队首次参加美国大学生数学建模竞赛.在美国大学生数学建模竞赛的影响下,1992年11月底,中国工业与应用数学学会举行了我国首届大学生数学建模联赛.从那以后,数学应用、数学建模方法、数学建模教学的热潮也迅速波及中学,使得我国有关中学数学杂志中,讨论数学应用数学建模方法、数学建模教学的文章明显多了起来.教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准》把数学建模纳入了内容标准中,明确指出：（1）在数学建模中,问题是关键.数学建模的问题应是多样的,应是来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面的问题.同时,解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系.（2）通过数学建模,学生将了解和体会解决实际问题的全过程,体验数学与日常生活及其他学科的联系,感受数学的实用价值,增强应用意识,提高实践能力.（3）每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题,对同样的问题,可以发挥自己的特长和个性,从不同的角度、层次探索解决的方法,从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验,发展创新意识.（4）学生在发现和解决问题的过程中,应学会通过查询资料等手段获取信息.（5）学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题,养成与人交流的习惯,并获得良好的情感体验.（6）高中阶段应至少为学生安排一次数学建模活动.还应将课内与课外有机地结合起来,把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来.这标志着数学建模正式进入我国高中数学,也是我国中学数学应用与建模发展的一个里程碑.2.目前数学建模教学存在的问题
（1）数学课程标准没有对数学建模的课时和内容作具体安排,也没有统一的教材和规定,这就让一线教师在具体实施过程中漫无边际,无从下手.（2）专门针对中学数学建模的研究起步比较晚,很多中学教师教学负担较重,在大学期间没有接受过这方面的教育,对数学建模概念、建模意识、建模意义都很模糊.许多建模步骤不仅要求有相应的数学知识,还需要物理、化学、生物学方面的知识,还经常需要计算机进行模拟、计算、检验等.知识面狭窄,指导数学建模的教学就会存在诸多问题.（3）能适合中学生水平的建模问题不多.由于高中数学仍以初等数学为主,微积分、概率统计等高等数学知识深度有限,传统的数学教学不够重视数学的应用,涉及数学知识应用的地方较少,已有的习题和问题不完全适应新课程下的数学教学,所以中学的数学建模教学基本处于初始阶段,这让有心尝试者有巧妇难为无米之炊的感觉.（4）搞数学建模和当年联系实际,搞“三机一泵”,开门办学付出如出一辙,有走回头路之嫌.（5）相应的评价体系并没有建立,由于高考指挥棒的影响,加上高中课时有限,完成教学计划尚不十分从容,还要应付会考、高考,老师和学生不愿花费精力进行建模,即使开展也是讲一些高考中的应用题.
五、如何开展数学建模教学
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,研究和学习数学模型,能帮助学生探索数学的应用,产生对数学学习的兴趣,培养学生的创新意识和实践能力,加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义,现就如何进行高中数学建模教学谈几点体会.
1.要重视各章前问题的教学,使学生明白建立数学模型的实际意义
教材的每一章都由一个有关的实际问题引入,可直接告诉学生,学了本章的教学内容及方法后,这个实际问题就能用数学模型得到解决,这样,学生就会产生创新意识,对新数学模型的渴求,实践意识,要求学生学完后尝试解决这一类问题.这是培养创新意识及实践能力的好时机,要注意引导,对所考查的实际问题进行抽象分析,建立相应的数学模型,并通过新旧两种思路方法,提出新知识,激发学生的求知欲,如不可挫伤学生的积极性,失去“亮点”.
2.通过应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程
学习应用题,使学生多方面全方位地感受数学建模思想,让学生认识更多的数学模型,巩固数学建模思维过程.
解应用题体现了在数学建模思维过程,要据所掌握的信息和背景材料,对问题加以变形,使其简单化,以利于解答的思想.且解题过程中重要的步骤是根据题意列出方程,从而使学生明白,数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点,通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想,联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题.
3.结合各章研究性课题的学习,培养学生建立数学模型的能力,拓展数学建模形式的多样性与活泼性
在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力,如记住一些常用及常见的数据,如：自行车的速度,自己的身高、体重等.利用学校条件,组织学生到操场进行实习活动,活动一结束,就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决.如：推铅球的角度与距离关系；全班同学手拉手围成矩形圈,怎样围才能使围成的面积最大等,用砖块搭成多米诺骨牌等.
总之,只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题,根据当地及学生的实际,使数学知识与生活、生产实际联系起来,就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识,从而提高学生的创新意识与实践能力.