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正确的命题是刻画概念的性质或提示概念间的内在联系的.任何一个数学问题的解决都依赖于定义、定理、公式、性质、法则,因此,学好命题是学好数学的关键.学习命题,要弄清发现命题的过程,重视命题的推导或证明方法的分析过程,掌握命题的推导或证明方法,在命题的应用上狠下工夫.克服只重视命题而忽视命题被发现的过程,只重视命题的推导或证明方法而忽视其分析过程,只重视解题而不重视以下几个环节:

一、猜想命题

1.了解命题提出的方法

了解数学命题是怎样提出来的,是学习数学知识、提高数学能力所需要的.积极思维是探索知识的灵魂,而思维是从问题开始的,因此了解提出命题的途径有利于发展思维的主动性.教材中或教师讲授新课时,提出问题的方式常见的有以下四种:

(1)从实际问题提出

理论来源于实践,实际问题本身就具有强大的魅力,它吸引学生去探索、去追寻.数学中不少命题是根据实际问题发现的,如线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、等差数列的前几项和公式等.

(2)过渡性提出

由于数学的系统性很强,数学中有不少命题可从旧知识到新知识的过渡中去猜想而提出问题.如余弦定理可由勾股定理过渡而提出,倍角、差角的三角函数的公式可从和角的三角函数的公式而提出等.

(3)反例式提出

由于某些知识的负迁移作用,学生常常会产生错误的猜想,甚至想当然地把错误的猜想当作正确的合理使用.为了避免学生的错误,可用引入反例的方法,提出新的问题.例如,从判定定理“如果平面α外的一条直线与平面α内的一条直线平行,则这条直线与这个平面平行”,想当然地得出“如果平面α外的一条直线与平面α内的一条直线垂直,则这条直线与平面α垂直”这个错误中,提出探索线面垂直的判定定理的问题.

(4)归纳式提出

定理、公式是对客观实际的抽象,要完成这一抽象,常常要用到归纳的方法.如幂函数的性质,函数y等于f(x)的图象和它的反函数y等于f-1(x)的图象关于直线y等于x对称的定理、等差数列和等比数列的通项公式、二项式定理等,都是在观察、分析部分事实的基础上归纳猜想出来的.

2.掌握猜想命题的正确方法

问题提出以后,就要积极思维并用正确的方法去猜想命题.

(1)从实物提出的命题,要在观察实物的基础上,变实际问题为抽象的数学问题,抓住本质的东西去猜想命题.

(2)过渡性引入的命题,要在复习旧知识的基础上,用推理的方法去寻求命题.


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(3)反例式提出的命题.要在批判错误的同时,改变条件变化的方式,用已有的知识去探索命题.

(4)归纳式提出的命题,要在分析部分事实的基础上,用归纳的思维方法,抓住它们规律性的东西去猜想一般的结论.

3.验证猜想的正确性

对于猜想的命题,要用具体事例进行验证,检验猜想的命题是否正确,发现问题及时纠正.

4.把正确的猜想写成命题

二、试作证明或推导

学习命题的证明或推导方法有两种,一种是直接阅读教材,按照教材中给出的解答过程,找出每一步的理论论据及其推算过程,从而弄懂命题的推证方法.

另一种方法是先不看书,而是通过认真审题,分析命题的条件和结论,联想有关的知识,运用分析与综合的方法,理出解决问题的思维,并且试写解答过程,然后再与教材中的解答方法相对照、比较,再行修改补充,从而掌握命题的证明或推导方法.

两种方法相比较,一般说来,第一种方法比较省力,但不利于培养数学能力,有时会感到方法之突然,甚至感到不可捉摸,而且所学到的方法也往往是僵死的;第二种方法比较费力,但对其推证方法感到自然,印象深刻,便于灵活运用,更有利的是在学习命题的推证过程中,能较快地提高分析能力、想象能力、推理能力和解决问题的能力.

三、剖析命题

1.剖析命题成立的条件或使用范围

由此看来,弄清定理或公式的成立条件和使用范围是非常重要的.

四、应用命题

1.命题内容的应用

2.证明方法的应用

3.命题的灵活综合应用

对于一个定理、公式,特别是一些重要的定理和公式,如三垂线定理、二项式定理、有关曲线的对称的定理(奇、偶函数的图象关于坐标原点(y轴)对称的定理,函数y等于f(x)和它的反函数y等于f-1(x)的图象关于直线y等于x对称的定理)、三角函数的和差化积与积化和差的公式、万能置换公式、等

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差(等比)数列的通项公式和前n项和公式等,都不是一讲就通、一学就透、能灵活运用的,必须在章节复习和以后的学习过程中,乃至总复习时逐步加以补充完善,才能学得比较扎实,才可能达到灵活、综合运用.因此要注意学习的阶段性和连续性,既不能在低年级时,去做难以达到的事;也不能在高年级时,不注意原来学习的知识,而必须有意识地对低年级所学的内容,乃至小学、初中学的内容进行复习、加深、拓广,使之达到综合运用知识的目的.


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(作者单位梅州城西职业技术学校)

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