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【摘 要 】本文通过文献综述的方式介绍关于变异的相关研究,总结了变异概念的成分、对变异的考虑、对变异的推理以及它们对教与学和研究的启示的相关内容.其中的许多成果对我国的统计教育都具有很重要的参考价值.
【关 键 词 】变异的成分；对变异的考虑；对变异的推理
一、引言
关于变异的教学研究基本是从Moore提出的“变异是统计思想的核心要素”以后开始的,当Wild & Pfannkuch （1999） 提出对变异的考虑是统计思维的一个基础时,变异的重要性开始慢慢得到关注.对变异的理解对学生统计思维的发展起了巨大作用,许多研究都证实了这一观点（例如 Meletiou-Mrotheris & Lee, 2002； Reading & Reid,2005； Reading & Shaugnessy, 2004； Torok & Watson, 2000）.“变异”既指不确定事物由于随机因素引起的特有的变异性（variability）,又指对这种变异性进一步的描述和度量（variation）（张洁铭,2006）.变异是统计的一个基础概念,统计被描述为“关于变异的科学” （e.g., MacGillivray , 2004）.
二、变异的成分（Components of Variation）
总体各单位的特征表现存在着差异,这些差异并不是由某种特定的原因事先给定的,统计上把总体各单位由于随机因素引起的某一标志表现的差异称为变异（黄良文,2000）.
Reading& Reid （2010）通过总结关于统计推理、思考和素养的第三届国际研究论坛、Garfield & Ben-Zvi （2005,2008）、Reading & Shaughnessy （2004）以及Watson, Callingham & Kelly（ 2007）等人的观点,提出了变异的成分有：
Ⅰ.发展对变异性的直觉观点；Ⅱ.描述和表征变异性；Ⅲ.利用变异性作比较；Ⅳ.在特定类型的分布中辨别变异性；Ⅴ.在模拟模型中辨别变异性的模式；Ⅵ.利用变异性预测任意的样本或者结果；Ⅶ.对变异性的考虑作为统计思维的一部分；Ⅷ.识别变异的来源；Ⅸ.解释观察到的变异的期望值.
三、对变异的考虑（Consideration of Variation）
(一)在统计教与学中对变异的考虑
Wild & Pfannkuch （1999）在访谈完统计学家和学生之后,想到对变异的考虑可以提供一个合适的基础来扩展对变异的理解,提出了考虑变异的四个部分：注意和承认,测量和建模,解释和处理,调查策略.
注意和承认变异——认识到变异的无处不在（即变异的存在性）以及在讨论中记录这些变异的需要.
为预测、解释或者控制变异的目的对变异进行测量和建模——从数据中总结变异（包括数值的或者图形的）以及利用这些总结来表现变异的影响.
解释和处理——寻找引起变异的原因,在设计和抽样中考虑变异的影响.
利用与变异相关的调查策略——关注变异本身属性的正式程序.
(二)评估学生对变异的考虑
Reid & Reading （2008）提出了学生对变异的考虑的四个水平：
没有考虑到变异的水平,所有这一水平的描述都是类似的,没有认识到任何的变异.
对变异的考虑很少的水平,认识到变异的存在,但通常只限制于变异的一个基本描述（例如,范围）,或这种描述是错误的或缺乏的.这些都表示学生认识到变异的存在,但缺少必需的语言或者工具去适当地描述或者利用变异.
对变异的考虑发展中的水平,在这一水平中,所有任务的反应都提供了一个更加细致和准确的描述,至少包含一个变异的来源,包含了组内或者组与组之间的变异.
对变异的考虑的强健水平,在这一水平,强健的反应把组内与组与组之间的变异联系起来,对变异有一个更加直观的分析.
四、对变异的推理（Reasoning about Variation）
关于变异的文献提出关于变异推理的认知发展框架包括：承认和描述变异,利用变异支持推断,解释变异的来源以及把变异和其他概念联系起来.
承认和描述变异,（与成分Ⅰ和Ⅱ联系起来）是学生在处理统计任务时最重要的第一步.Reading （2004）利用SOLO分类法提出了描述变异的认知水平的层次结构.该层次结构中有两个独立的U-M-R发展循环.第一个循环利用大量的与定性特征相关反应来刻画变异的定性特征,第二个循环利用与定量特征相关的反应来刻画变异的定量特征.Reading & Shaughnessy （2004）在该结构增加了根据数据的特征来辨别认知水平,特别是“极端值”（即包括数据的范围或分散度）和“中间值”（即在数据范围内发生了什么）.
利用变异支持推断,例如,比较和预测（分别对应Ⅲ和Ⅳ）是对变异的推理的重要方面之一.还有别的成分,例如承认、描述、识别和解释期望值（Ⅰ,Ⅱ,Ⅷ,Ⅸ）.利用变异支持推断不是单纯的包含变异的一个成分,而是变异的几个成分.
解释变异的来源（成分Ⅷ）,Reading & Shaughnessy （2004）提出的一个与这个描述变异的层次结构是平行的层次结构,用来描述解释引起变异的认知水平.在最低的认知水平,提供了很多无关的变异的来源；在更加复杂的认知水平上,变异的相关解释逐渐被提出来.Reading & Shaughnessy的层次结构与SOLO分类法是类似的.
变异和其他概念联系起来,例如,当变异的概念被整理过后,期望值（成分Ⅸ）就成为可能了.Watson, Callingham & Kelly （2007）提出了理解变异和期望值的发展路径,它包括六个水平：特殊的（idiosyncratic）、非正式的（informal）、不一致的（inconsistent）、一致的（consistent）、分布的（distributional）和比较分布的（parative distributional）.在前三个水平,变异和期望值是分开的,直到第四个水平一致的（consistent）这两个概念才被慢慢地联系起来. 五、对教学和研究的启示
对变异的推理的认知发展框架,可以用于课程、学习活动和评估的设计,探究学生对其他的统计概念的推理.第一,内容丰富的课程设计是促进学习的关键,认知发展框架对课程设计中内容的顺序和呈现是非常有用的.第二,认知框架可以提供很多有用的信息来帮助学习活动的设计,支持学生的学习.第三,认知框架可以使用来设计评估任务,判断一个评估任务是否起到表征推理认知的作用.最后,利用认知框架描述学生对变异的推理,探究学生关于其他的统计概念的推理.
【参考文献】
[1]Garfield,J.B.,& Ben-Zvi,D.,Developing Students’ Statistical Reasoning：Connecting Research and Teaching Practice[M].The Netherlands：Springer,2008.
[2]Reading,C.,& Reid,J,Reasoning about variation：rethinking theoretical frameworks to inform practice,Data and context in statistics education：Towards an evidence-based society,Proceedings of the Eighth International Conference on Teaching Statistics （ICOTS8,July,2010）[R].Ljubljana,Slovenia,2010.
[3]Watson,J. M.,Callingham,R. A.& Kelly,B. A. ,Students appreciation of expectation and variation as a foundation for statistical understanding[J].Mathematical Thinking and Learning,9（2）,（83-130）,2007.
[4]黄良文.统计学原理[M].北京：中国统计出版社,2000.
[5]张洁铭.学生对概率统计异性的认识[D].华东师范大学,2006.