导数在经济学科中的应用

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导数是数学分析的重要组成部分,它在经济、物理、几何、微积分等学科中起着极其重要的作用.本文主要论述了导数在经济学科中的广泛应用.

一、导数的定义

设函数y等于（）在点的某领域内有定义,若极限（1）存在,则称函数f在点x0可导,并称该极限为函数f在点x0处的导数,记作f'（x0）.令x等于x0+,等于f（x0+）-f（x0）,则（1）式可改写为：（2）.所以,导数是函数增量与自变量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商）,而导数f'（x0）则为f在x0处关于x的变化率.

若（1）或（2）式极限不存在,则称f在点x0处不可导.

以下介绍导数的有关应用：经济方面,物理方面,极限方面,函数方面,最优化问题方面以及其它生活中的应用实例方面来阐述导数的广泛应用：

二、导数概念在经济学中的应用

将导数概念应用于经济学中,主要是指利用导数研究经济变量,如成本、收入、利润、需求等函数的变化率,其一为瞬时变化率,在经济学中称为“边际”；其二为相对变化率,在经济学中称为“弹性”.

(一)总成本函数与边际成本

总成本是指生产一定数量的某种产品所需投入的总费用,它是产量的函数,一般用C表示,设某产品产量为时所需的总成本为C等于C（x）,称为总成本函数,简称为成本函数,它是由固定成本c0（与产量无关的资源投入,如厂房、设备、企业管理费、广告费等）及可变成本c1（x）（与产量相关的资源投入,如原料、电力、人力等）两部分组成,一般函数关系为C（x）等于c0+c1（x）,这是一个单调递增函数.

若产量是连续变化的,且函数C（x）在点x处可导,则有.C'（x）为成本函数的瞬时变化率,称为产量为x时的边际成本,又记作MC.按导数定义,C'（x）近似表示在产量为x,产量的改变量的绝对值||很小时,总成本变化的速度,即平均增加或减少一个单位产量时总成本改变量,而经济学家对边际成本C'（x）的解释是C'（x）表示当产量为x时,再生产一个单位产品所需增加的成本的近似值.

(二)总成本函数与边际收入

总成本函数是指生产者出售一定数量的产品后所得的全部收入,一般用R表示,它与销售量及价格有关,其关系式为总收入等于价格销售量.

在一元函数中,可根据所讨论的问题将总收入表示为销售量的函数或表示为价格的函数.

现在设某种产品的销售量为x时的总收入为R等于R（x）,称R（x）为总收入函数,简称收入函数.类似与边际成本的讨论,若在R（x）点x处可导,就称为销售量为x时的边际收入,又记作MR,其经济意义为：假设已经销售了x个单位产品,再多销售一个单位产品时收入增加的近似值.

[例1]：设某种产品的需求量x是价格p（元/单位产品）的函数：x等于20000-100p,求边际收入函数MR（x）及需求量分别是9000,10000,11000个单位时间的边际收入,并说明其经济意义.

解：总收入函数为R（x）等于销售量价格等于需求量价格x等于p

由已知20000-100p,将p等于200-0.01x代入R（x）得

R（x）等于200x-0.01x2,于是MR（x）等于R'（x）等于200-0.2x

（9000）等于20（元）（10000）等于0（元）（11000）等于-20（元）

其经济意义为：当需求量为9000个单位时,如果需求量再增加1个单位,总收入大约增加20元；当需求量为10000个单位时,如果需求量再增加1个单位,总收入大约不变；当需求量为11000个单位时,如果需求量再增加1个单位,总收入大约减少20元,这说明总收入并不总是随需求量（即销售量）的增加而增加的.

(三)总利润函数与边际利润

总利润是指生产者将生产的产品售出后,扣除投入部分的费用后所得的收入,一般用L表示,即L等于总收入-总成本.如果我们假设销售量等于产量（即产销平衡）,设某种产品的产量为x时,总成本函数为C（x）,总收入函数为R（x）,则有L（x）等于R（x）-C（x）,称L（x）为总利润函数,简称为利润函数.若L（x）在点x处可导,就称为产量为x时的边际利润,又记作ML.其经济意义为：当产量为时再多生产1个单位产品所增加的利润的近似值.

[例2]：设生产某种产品x个单位的成本函数为C（x）等于1000+10x+0.01x2（单位：元）.如果每单位产品售价为30元,求边际成本与在产销平衡情况下的边际利润函数,并求产量为800个单位时的边际利润,并说明其经济意义.

解：当产量为个单位时的总收入为R（x）等于30x,边际收入.由已知成本函数可得边际成本为,从而产量为个单位时的边际利润为

当x等于800时,

结果表明,当产量为800个单位时,再多生产1个单位产品,利润大约可增加4元.

(四)弹性分析

导数讨论的是函数在某点的变化率,关心的是自变量的微小改变所引起的函数改变量,但是在日常经济活动中,例如,在研究需求量与价格之间的关系时,关心较多的不是因价格p的改变所引起的需求量Q的改变量,而是价格的相对改变量所带来的需求量的相对改变量,这样便得到一种被称为弹性的度量.下面先给出一般函数的弹性定义.

定义2.4：设函数y等于f（x）在点x0的某领域内有定义,若对于x的改变量Dx,函数取得改变量等于f（x0+）-f（x0）,称值为y等于f（x）在点x0与点x0+之间的弧弹性.

弧弹性表示当自变量由变到x0+时,自变量变化的1%所引起的函数值变化对于f（x0）的百分比,故称为平均相对变化率.

定义2.5：如果函数y等于f（x）在点x0处可导,则称极限值为y等于f（x）在点x0处的点弹性,记作,即.

当||很小时

定义2.6：如果函数y等于f（x）在某区间可导,则称为y等于f（x）在该区间内的点弹性函数,简称弹性函数.

函数的弹性表示的是变量相对变量变化的反应程度或灵敏度.在经济问题中,经常需要在不同产品之间进行比较,而这些产品使用的计量单位不同.由弹性定义可知,函数弹性是一个无量纲的常数,使用起来可以不受计量单位的限制,这使弹性概念在经济学中得到了广泛的应用.

（作者单位：湖北襄阳职业技术学院公共课部）