专业学位生《矩阵》教学模式的实践与

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摘 要 《矩阵论》是专业学位研究生必不可少的数学基础课程,本文主要探讨了《矩阵论》课程教学改革实践中的一些方法和体会.

关 键 词 矩阵论 教学模式 研究生

中图分类号：O151.21 文献标识码：A

近年来,随着我国经济社会的飞速发展,迫切需要大批具有创新能力、创业能力和实践能力的高层次专门人才,研究生教育必须要增强服务于国家和社会发展的能力,加快结构调整的步伐,加大应用型人才培养的力度,促进人才培养与经济社会发展实际需求的紧密联系.正是在此背景下,为了积极主动适应经济社会发展对高层次应用型专门人才的需要,全日制硕士专业学位研究生教育在我国迅速兴起,其规模也越来越大.在课程设置上,目前大多数专业学位研究生的人才培养方案已将《矩阵论》列为公共学位课程.这是因为矩阵理论不仅是数学的一个重要的分支,而且已成为现代工程技术领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具,它不仅能使所描述的问题具有简洁的形式,而且也是使所描述的问题得以深入系统研究的手段.特别是由于计算机和计算方法的普及和发展,复杂问题线性化技术的发展与成熟,不仅为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景,也使工程技术的研究发生了新的变化,开拓了崭新的研究途径.例如数值分析与数值计算、电力系统分析、系统工程、系统控制理论、信号处理、运筹学、工程结构分析等,无不与矩阵理论发生紧密的结合,因此矩阵的理论和方法对培养研究生的数学思维能力、分析处理数据的能力等方面具有十分重要的作用.学好《矩阵论》对研究生今后的专业研究与工程实践具有长远的意义.如何改革《矩阵论》教学模式,提高《矩阵论》教学质量,激发研究生学习《矩阵论》的积极性,是关系到专业学位研究生培养质量的重要问题.我们在近几年的教学实践中,进行了一些有益的尝试.

1《矩阵论》的几种教学模式

1.1讨论式教学法

在《矩阵论》的教学实践中,根据教学内容的不同可采用不同的教学形式.有的内容需要教师详细讲授,而有的内容可以讨论课形式出现.其中讨论课的设计可以围绕某个富有启发性的问题,引起学生强烈的探究愿望,激发学生的学习主动性,指导学生查找相关资料,经过课前预习思考,拓展学生的思维空间,培养学生的学习兴趣,从而实现教与学的互动.例如在学完由戴华教授编著的《矩阵论》教材前三章后,可以安排这样一次讨论课.预先向学生提出如下问题：可对角化矩阵是《矩阵论》中极其重要的一类矩阵,那么一个n阶矩阵可对角化的条件究竟有哪些呢?从线性变换的角度来看,此问题等价于何时存在一个n 维线性空间上的一组基,使线性变换在这组基下的矩阵为对角矩阵?这个问题的答案可以很多,可以引导学生梳理总结前面不同阶段所学的内容,从不同的侧面给出问题的答案.例如从特征向量的角度,此条件等价于n阶矩阵或线性变换有n个线性无关的特征向量；从特征值的角度,此条件等价于矩阵的每一个特征值的几何重数等于代数重数；从初等因子的角度,此条件等价于矩阵的所有初等因子都是一次的；从最小多项式的角度,此条件等价于矩阵A的最小多项式没有重零点；从子空间的角度,此条件等价于线性空间可以分解成线性变换的一维不变子空间的直和等等.进一步,对于一些比较特殊的矩阵,还可进行特殊的对角化.如正规矩阵可以酉相似于一个对角矩阵,Hermite矩阵可酉相似于一个实对角矩阵等.通过讨论,学生们各抒己见,对于矩阵的可对角化问题有了比较全面的理解,能将所学的相关概念和知识点有机地统一起来,从而有助于理解虽然不是所有的矩阵都可对角化,但是能将所有的矩阵化为比对角矩阵弱的一类矩阵――Jordan标准型矩阵.在教学过程中采用讨论式教学法,能有效培养学生的创新思维能力和相互合作学习的习惯.另外结合讨论课的题目,也可要求学生撰写成一篇课程小论文,作为课程成绩考核的一部分.

1.2比较式教学法

（1）横向比较.在学习《矩阵论》的过程中,学生们经常会在某一章里遇到一些形式或意义相近、容易混淆的概念.这时有必要提醒他们及时总结,将这些概念进行对比分析,比较异同,归类整理.例如在讲解 矩阵与矩阵的Jordan标准形这一章时,为了确定 矩阵的史密斯标准形以及数字矩阵的Jordan标准形,一些关于 的一元多项式起着关键的作用.这些重要的 一元多项式包括行列式因子、不变因子、初等因子等.在授课过程中要求学生们理解其定义、比较它们之间的相互关系及各自所起的作用.如 矩阵的行列式因子可表示成不变因子的乘积,而不变因子可表示成行列式因子的商.既然行列式因子和不变因子可相互由对方确定,因此在计算时可根据 矩阵的特点灵活选择先算哪一个,后算哪一个.由于一个 矩阵的史密斯标准形与它的不变因子或行列式因子是一一对应的,因此两个同型的 矩阵是否等价完全取决于它们的不变因子或行列式因子是否相同.另一方面,一个 矩阵的初等因子来源于不变因子在复数域内分解成的一些一次因式的幂,因而完全由不变因子确定,反过来, 矩阵的秩和初等因子这两个因素一起才能确定不变因子.注意到两个同阶数字矩阵是否相似完全取决于它们的特征矩阵是否有相同的行列式因子,或相同的不变因子,或相同的初等因子,所以可通过求数字矩阵的特征矩阵的初等因子（不变因子、行列式因子）来确定它的Jordan标准形.

再比如在讲解“范数与极限”这一章时,注意到与范数有关的概念比较多,如向量范数、矩阵范数、相容矩阵范数、算子范数等,学生学习起来感到吃力,容易混淆.因此在讲解过程中,不断将这几种范数进行对比,从概念、性质、计算等方面比较它们之间的异同点以及它们之间的相互关系.例如一个线性空间上的向量范数是一般的概念,它包括n 维向量空间Cn上的向量范数以及矩阵空间Cmn上的矩阵范数这两个重要的例子.在Cn上可定义许多有用的范数,其中最常见的范数包括1范数||g||1、2范数（或Euclid范数）||g||2和∞范数||g||∞等范数；矩阵空间Cmn上虽然可以类似地定义矩阵范数||g||,1范数、||g||F和||g||∞范数,但却未必都具备相容性条件.从实用的角度看,相容矩阵范数是使用方便的矩阵范数,其中最重要的相容矩阵范数为算子范数,即由Cm和Cn上的向量范数诱导出的Cmn上的相容矩阵范数.特别地,我们得到几个常用的算子范数,即矩阵的列和范数||A||1、谱范数||A||2以及行和范数||A||∞. （2）纵向比较.学习《矩阵论》的另一种比较方法是与本科阶段学习过的《线性代数》、《解析几何》、《高等数学》等课程的有关知识点进行纵向比较.例如《矩阵论》中的线性空间是《线性代数》中实数域上n维实向量空间Rn的推广,事实上,每一个实数域上的n维线性空间都与n维实向量空间Rn同构,因此关于n维实向量空间Rn的一些结论在一般的线性空间中也成立；《矩阵论》中的内积概念是《线性代数》中Rn上实向量内积的推广,更是《解析几何》中向量的数量积的推广,从而可将几何上的长度、夹角等度量概念引入到一般的内积空间中；《矩阵论》中的酉矩阵和Hermite矩阵分别是《线性代数》中正交矩阵和实对称矩阵在复数域上的推广,从而《矩阵论》中Hermite矩阵必酉相似于对角矩阵这一重要定理可看成《线性代数》中实对称矩阵必正交相似于对角矩阵这一结论在复数域上的推广,而Hermite二次型的理论也是《线性代数》中实二次型对应理论的推广,更是《解析几何》中判断二次曲线和二次曲面类型方法的推广；在矩阵分析中,矩阵函数与矩阵值函数均是《高等数学》中通常的函数概念的推广,在讲课中可以鼓励学生比较矩阵函数与矩阵值函数的性质与运算和《高等数学》中的函数的性质与运算有哪些异同点.

1.3应用举例教学法

《矩阵论》课程内容十分丰富,主要包括线性空间、线性变换、矩阵的Jordan标准形、矩阵的因子分解、Hermite矩阵与二次型、范数理论、矩阵分析、广义逆矩阵等内容.通常讲授时往往习惯按照“定义一定理一例题”这种教学模式进行.这种教学方法强调了结构的严谨性、内容的系统性以及授课过程的流畅性,但是与工程实际问题相距较远,导致专业学位的研究生不知道学了《矩阵论》以后有什么用处.事实上,《矩阵论》的理论与方法在现代工程技术中有许多应用.在讲解矩阵理论和方法时,如能简单介绍相应的工程应用背景,提供一些实际应用的例子,则可激发专业学位研究生们学习《矩阵论》的兴趣,感受到矩阵论与专业课程的密切联系,并能从中学习和体会到数学建模的方法与思想.

例如在讲解内积空间时可介绍正交基在小波分析中的应用；在讲解线性变换时,可指出线性电路的输入输出就可看成线性变换,而电路的串联就对应着线性变换的乘积,从而可用线性变换理论解决相关的电路问题；在讲解特征值理论时,可指出在结构动力学中特征值就是结构振动的固有频率,在控制理论中特征值就是系统的极点等等；在讲解矩阵分解时,可介绍矩阵分解在图像传输中的重要性：一幅图像恰好对应于一个矩阵,由于矩阵很庞大,为高效传输图像,需对图像进行压缩,即对矩阵进行分解,将矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积；在讲解矩阵函数时,可介绍多变量变参数系统的最优控制问题,让学生了解矩阵函数在电路分析、鲁棒理论和变系数微分方程中的应用.通过这些理论联系实际的讲解,提高了学生们对于《矩阵论》这门课程重要性的认识,从而更自觉地学好这门课程.当然这也对授课教师的知识结构和综合素质提出了更高的要求.

需要指出的是,由于受《矩阵论》课程学时的限制,不太可能花过多的时间详细介绍专业背景知识以及实际范例,但我们可以充分利用多媒体教学辅助手段,精心搜集素材, 制作播放介绍《矩阵论》有关专业背景的ppt,这样既增添了趣味性,加深了学生的印象,又节省了授课时间.

2结束语

专业学位研究生《矩阵论》的课程教学要立足于研究生的学科与专业特点,强调数学概念的理解、数学思想的提炼以及数学思维能力与应用能力的培养,避免过多过繁的数学推导.在教学模式上可以采取多种教学模式的有机结合,使《矩阵论》教学与专业学位研究生培养目标结合更为紧密,为研究生今后的科研与工程实践活动打下坚实的数学基础.

基金项目：本文获南京工程学院校级高等教育研究立项课题（GY201316）以及校级教学改革立项项目（JG201434）资助.