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【摘 要 】本文运用马科维茨资产组合理论,从资产的收益与风险之间的关系出发,讨论了在不确定经济系统中资产的最优组合选择问题,并运用量子理论建立了一个金融市场模型,推导出最优投资组合选择的解析解.
【关 键 词 】量子模型 最优组合选择 量子交易策略 对冲
一、引言
纵观全球,各个国家之间的政治、经济等的联系越来越大,世界上的金融资产种类也越来越多.同时随着经济环境的不断动荡,引发了越来越多的经济问题.1998年亚洲的金融危机再加上2007年美国的次债危机引发了全世界的金融经济动荡,我国的股市也发生了巨大的跌幅,让很多投资者损失严重.同时也有投资者能够及时的调整投资策略,获得了高额回报.因此,在当前的经济形势下,一些经济学家对以往的随机金融模型提出了质疑,以往的最优投资组合模型是否能够真正预测时下的金融市场.本文借此引入量子理论分析探讨了不确定经济系统中资产的组合选择问题的最优解析解.
19世纪初,Bachelier就开始研究金融市场的理论体系.但是金融市场系统的理论研究是从20世纪50年代初期开始的,1952年Markowitz发表了资产组合选择理论,1964年Sharpe建立了资产定价模型,之后1973年Black和Scholes与Merton期权定价理论以及1976年Ross的套利定价理论等,他们所应有的工具基本上是经典理论中的一些方法,之后现代投资组合的研究大部分都是围绕Markowitz投资组合理论而展开的.随后量子理论从不同角度被引进到金融问题的研究中来.1998年Ilinksi采用量子场理论来描述了金融市场的动态变化,他运用场理论推导了资产价格和资金流动的速度随时间演化的方程.之后,Schaden做了进一步的研究,他他运用市场投资者持有的总资产数和总作为基矢来构造金融市场的状态空间,金融市场的不确定性由态矢迭加原理来刻画.然后,陈泽乾教授从量子力学的角度用Maxwell-Boltzm统计重新推导了著名Cox-Ross-Rubinstei期权定价公式,还用量子力学中的Bose-Einstein统计得到了一个全新的期权定价公式.这些都表明在理论上存在着关于金融市场的和谐的“量子理论”――量子金融.
二、金融市场的量子模型
量子是一个物理概念.在数学上,量子是用复Hilbert空间来描述的,不失一般性,这里我们只考虑n维复线性空间Cn.假设单期金融市场遵循某种量子统计规律,其不确定经济环境由量子概率空间（Cn,ρ,B+S）来描述,其中ρ代表一个定态,B代表无风险资产,S代表风险资产.假设该金融市场有d+1种长期证券,其中第0种证券为无风险证券,它由Bt（t等于0,1）来表示,另外d种证券为风险证券,它们的价格由正算子列Sj等于（Stj）t等于0,1,j等于1,2,等d来表示.即Stj表示第j种证券在t时刻的价格,这些值不止一个,因此,在t时刻以前我们不能确定Stj的值.一般情况下,我们把这个金融市场经济记为（B,S）市场,其中S等于（S1,S2,等Sd）.
三、单期资本市场中量子模型下的最优组合问题
（2）式表明,如果量子金融市场存在无风险的资产,且在证券组合投资收益为b的条件下,风险最小的投资组合的风险为σ,则（b,σ）满足（2）式,即（b,σ）在一条直线上.换句话说,在这种条件下,满足最小方差的证券组合是存在的,与之相对应的证券组合就是最小方差证券组合.
(二)不存在风险资产时量子模型下的金融投资最优组合选择
这里我们分析无风险资产对全部金融市场中的资产组合选择的影响.我们仍然假设金融市场有d种证券风险资产可以投资,投资的收益仍然用自伴算符A1,等Ad,表示.我们仍然运用马科维茨资产组合理论,假设投资者投资于第j种风险证券的比例为ωj（j等于1,2,等d）, 我们仍利用拉氏函数：L等于ωT∑ω-2λ1（ωT1-1）-2λ2（ωT-b）
对ω求偏导数得到：ωb等于∑-1（λ11+λ2μ）,