本站原创此文是一篇变分法论文范文,关于变分法方面论文范文素材,与最优控制经典方法相关毕业论文开题报告范文。适合不知如何写变分法及可靠性及参考文献方面的经典论文网专业大学硕士和本科毕业论文以及变分法类开题报告范文和职称论文的作为写作参考文献资料下载。
摘 要：最优控制理论是现代控制理论中的经典.该文论述了其中的基本支柱方法变分法和极小值原理.两种方法都有自己独有的特性,优点缺点和适用范围,可分别用于求解不同种类的问题.最优控制理论已经广泛地融入到了现代社会中,在将来仍有广阔的发展前景.
关 键 词 ：最优控制理论 变分法 极小值原理.
中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）07（b）-0255-02
早在20世纪50年代初,就开始了对最短时间控制问题的研究,形成了时间最优控制理论,其中包含著名的Bang-Bang控制理论；随后,由于空间技术的发展,导弹、卫星等复杂系统提出了消耗燃料要少,飞行速度要快,运行可靠性要高等严格的要求,在工程上刺激了最优控制理论的发展,逐步形成了一套较为完整的最优控制理论体系.
该文将介绍最优控制理论中的经典方法.
1.变分法
一个经典的例子是,曲线上的最速降线问题,在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B[1].任务是在所有可能的曲线中确定一条,使得下降的时间达到最小.
这是一个求取泛函极值的问题.泛函取极值的必要条件是泛函的变分为零.若连续可微,在点达到极值,则泛函在处的变分等于零.
泛函极值问题可以分解为有约束和无约束问题,其中对于端点不固定的问题采用横截条件进行处理.
无约束问题中,欧拉-拉格朗日方程是变分法的关键定理.如果已知一条
曲线,始端末端,则泛函
取到极值必要条件是曲线满足欧拉方程.
其中应有连续的二阶导数,则至少应是二次连续可微的.如果想得到是极大还是极小的结论还必须有充分条件进行泛函二阶变分的求解与分析.
若对于泛函极值问题在上述情况下存在端点不固定的情况需要列出额外的横截条件来求解.
对于有等式约束的问题,一般为含有状态空间（1-8）的等式约束.变分法
利用拉格朗日待定乘子法并且引入哈密顿函数,见式（1-9）.
这样就可以将有条件约束的问题转变为无条件约束的问题.并利用欧拉方程推导出协态方程（1-10）和控制方程（1-11）,与状态方程和横截条件一起求解泛函极值问题.
2.极小值原理
当采用变分法求解最优控制问题时,存在一个约束即认为控制向量是不受限制的.但是在实际的系统中,不受限制的控制是比较少存在的.因此我们给定.
极小值原理可以用来求解很多最优控制问题,其中著名和经典的例子就是时间控制理论中的Bang-Bang控制,还有如线性二次型问题中的状态调节器,输出调节器,跟踪调节器等.同样极小值原理还可以应用于离散系统,解决离散系统中的二次型调节器问题.
极小值原理中,一般求解的问题可以给定系统的状态方程如下所示.
其中是欧几里得空间的子集,端点约束和目标泛函如下,
定义Hamilton函数为：
当初始状态不固定的时候,我们需要引入式（31）；当终端时刻不固定的时候,我们需要引入式（26）；当终端状态不固定的时候我们需要引入式（25）.
3.变分法与极小值原理的比较
变分法比较擅长于求解微分方程或者差分方程所表示的问题,而对与更加一般化的实际问题则更多地用极小值原理的方法来求解.
可以从中观察出来,当控制函数不受约束或只受开集性约束条件下,与实际上是等价的.
极小值原理很好地扩大了变分法的适用范围.不仅可以用来求解函数U（t）不受约束或只受开集性约束的最优控制问题,而且也可以用来求解控制函数U（t）受到闭集性约束条件的最优控制问题.这就意味着极小值原理放宽了对控制函数U（t）的要求.
极小值原理可以求解带有闭域约束的更加一般的最优控制问题,如最短的时间,最快的速度,最佳的利用,最短的路径等等.
在没有闭域约束的最优控制问题中时,变分法,极小值原理是等价等效的.
4.结语
最优控制理论已经潜移默化地深深融入到了现代社会的发展中,在不久的将来仍然有广阔的发展前景.