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【摘 要】本文给出基本初等函数15种乘积的不定积分公式结果.在15种结果中,有11种情况的积分结果可以用初等函数表示出来,有4种情况的积分结果不能用初等函数表示出来.
【关 键 词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数
【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1.∫xnaxdx等于ax∑ni等于0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C.
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2.∫xnlogaxdx等于xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C.
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3.∫xncosxdx等于∑ni等于0(xn)(i)(sinx)(i)+C.
4.∫xnsinxdx等于-∑ni等于0(xn)(i)(cosx)(i)+C.
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5.∫xnarcsinxdx等于1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx.
6.∫xnarccosxdx等于1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx.
其中：In+1等于∫xn+11-x2dx(令x等于sint可得)等于-xn1-x2n+1+nn+1In-1,等,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7.∫axlogbxdx等于1lnbax∑∞i等于0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C.
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8.∫eaxcosbxdx等于1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C.
9.∫eaxsinbxdx等于1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C.
七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分
10.∫axarcsinbxdx等于ax∑∞i等于0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C.
11.∫axarccosbxdx等于ax∑∞i等于0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C.
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12.∫cosbxlnxdx等于∑∞i等于01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C.
13.∫sinbxlnxdx等于-∑∞i等于01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C.
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
14.∫arcsinxlnxdx等于(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C.
15.∫arccosxlnxdx等于(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C.
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16.∫sinxarcsinxdx等于-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C.
17.∫sinxarccosxdx等于-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C.
18.∫cosxarcsinxdx等于sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C.
19.∫cosxarccosxdx等于sinxarccosx+∫sinx1-x2+C.
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20.∫xmxndx等于1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx等于ln|x|+c(m+n等于-1).
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21.∫axbxdx等于axbxlna+lnb+C.
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22.∫logaxlogbx等于1lnalnb∫ln2xdx,
∫ln2xdx等于xln2x-2∫lnxdx等于xln2x-2xlnx+2x+C.
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23.∫sinxsinxdx等于12∫（1-cos2x)dx等于12x-14sin2x+C.
24.∫sinxcosxdx等于12sin22x+c.
25.∫cosxcosxdx等于12∫(1+cos2x)dx等于12x+14sin2x+C.
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26.∫(arcsinx)2dx等于x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx等于x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2等于x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2x+C.
27.∫arcsinxarccosxdx等于∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)等于arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx等于arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd1-x2等于arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C.
28.∫(arccosx)2dx等于x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx等于x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2等于x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C.
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来,有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来.
例求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx.
解∫x3(e-x+lnx+cosx)dx等于e-x∑3i等于0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i等于0(x3)(i)(sinx)(i)等于-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c.
【参考文献】
［1］侯风波.高等数学：第二版［M］.北京：高等教育出版社,2000：89-104.
［2］中国高等教育学会组织编写,侯风波主编.应用数学（理工类）：第一版［M］.北京：科学出版社,2007：80-92.