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【摘 要】以Black-Scholes模型为开端,现代期权定价理论已经拥有了近40年的历史.随着现代金融市场的发展,市场上创造了很多更为复杂的期权产品,而且随着股票、债券、外汇和期货市场的发展,以其为标的资产的期权产品也在收益率和价格上发生了变化.本文根据不同期权产品的基本特征,分析并研究目前存在的定价理论方法以及存在的问题.
【关 键 词】期权定价模型布朗运动维纳过程B&S模型
一、引言
期权是一种金融衍生工具,期权最主要的特征是赋予期权的购买者一种交易或者操作的权利,在满足一定条件或者发生某种具体事件时,期权的买方通过执行权力可以转移风险或者获利.
期权不仅包括以金融资产为标的资产并在公开市场交易的期权,也包括以实物资产为标的物的实物期权和以期权为标的资产的复合期权.但是,实物期权是一种不可交易的、依附于实体投资的选择权,分析投资决策过程中的重要因素,会显著地影响实物投资未来收益状况.
在分析期权定价问题之前,首先需要认识目前存在的期权产品,因为不同性质的期权拥有不同的价格分布、风险特征、波动率交易规则和偏差率等问题.由于不同的期权行权条件、到期标的资产价格计算方式、期权标的资产种类以及权利性质是不同的,因此,在期权定价问题上,目前的学者都是根据具体期权的性质和特征,并寻找可以复制或者描述该具体期权价格分布、波动性或者收益率变动的数学模型或者资产组合,最后通过合成投资组合或者数学模型加以计算期权的价格和价格变化轨迹.
二、Black-Scholes模型
1973年布莱克和斯科尔斯推导出以无股利支付的股票为标的资产的欧式期权的定价模型.该模型假设：（1）期权为欧式期权；（2）期权的标的资产的收益率服从对数正态分布；（3）在期权有效期内,标的资产不支付股利；（4）市场是无摩擦的,不存在交易费用、税收、无风险套利机会；（5）无风险收益率和标的资产收益率的变量是恒定的；（6）市场交易是连续的,不存在间断性和跳跃性特征；（7）标的资产波动率为恒定值；（8）标的资产价格服从几何布朗运动规律,即：,其中St表示股票的在t时间的价格,σ和μ分别表示股票的波动率和预期收益率,W表示标准布朗运动.
B&S模型的基本思路是：影响标的资产价格的各种不确定因素也会对以该资产为标的资产的期权产生影响,在标的资产和期权都服从维纳过程（布朗运动）的条件下,通过建立期权和标的资产的适当头寸的投资组合,用以抵消连续时间随机运动过程,则投资组合实现不存在无风险套利机会和零风险,收益率等于无风险收益率.
S表示标的资产价格,是欧式买入期权在t时期的价值,T是欧式买入期权的到期日,X是欧式买入期权的执行价格,r是无风险利率,σ2是标的资产收益率的波动率的方差.对微分方程
B&S模型是现代金融期权定价模型的基础,之后所提出的期权模型有些是根据对B&S模型假设的修改,从新推导新的期权定价模型,或者是根据具体期权的性质从新的思路和方法中分析具体期权的定价问题.
三、跳—扩散模型
较早的期权定价模型一般都假设标的资产的价格服从布朗运动的特征,价格的波动是一种连续、独立并且随机的过程.但是,根据股票、债券甚至期货等金融资产的历史价格分析和指数分析已经证明布朗运动的假设条件是不成立的.金融资产的价格有时会受到重大事件的影响,价格呈现不连续地波动的特征.再者,布朗运动的假设下,各个金融资产呈现独立波动的特征,但是历史已经显示出金融资产之间价格波动会呈现出相关性特征,甚至有些金融产品拥有自相关的特点,从而导致标准布朗运动假设无法成立.不仅如此,随着更多的金融衍生品被创造并在公开市场中交易,标的资产的多样化、交易规则的复杂化、价格的难以确定,造成B&S模型所提出的假设条件大多无法实现,导致B&S模型的实用性降低.
跳—扩散模型以B&S模型提出的偏微分方程为基础,通过引入导致标的资产价格呈现不连续波动的因素,表示标的资产的价格会受到突发事件的影响而导致价格变化呈现出跳跃性特征,引入了非系统性风险和系统性风险因素.在建立模型时,同时考虑标的资产的价格会围绕期望收益率在一定方差范围内连续波动,但是也会由于受到一些时间不确定的重大事件的影响,价格出现“跳水”问题.由于需要考虑导致价格“跳跃”的特殊事件,所以在建立表达标的资产价格波动的偏微分方程时,要引入具体特殊事件.
跳—扩散模型假设引起股票价格出现非连续波动的事件只有一类而且价格跳跃的风险为非系统性风险,多数学者利用泊松分布表达突发事件产生的概率,引入标准正态分布显示价格跳跃的相对高度.跳——扩散模型的偏微分方程表达式为：
其中为标的资产价格；表示标的资产的收益率；表示标的资产收益率在没有发生跳跃时的波动率；表示几何布朗运动；是标的资产价格在一段时间内的随机跳跃次数,服从参数为的泊松分布,表达价格受到突发事件影响而产生跳跃；为当标的资产价格发生跳跃时的相对高度；是服从正态分布的随机变量.
根据无套利原则建立欧式买入期权和标的金融资产的投资组合,从而使投资组合实现零风险.跳——扩散模型的微分方程表达式为：
在利用跳—扩散模型计算美式期权时,由于美式期权提前执行的交易规则,通过解析法计算美式期权的价格显示解难以实现.邓国和（2009）提出结合指数分布,建立CIR随机波动率与跳—扩散模型的积分分解公式,寻找期权执行的满足非线性方程的有效边界,将具体的美式期权分解为相应欧式期权和提前执行溢价的和,求解最佳实施边界,从而使跳—扩散模型在美式期权定价方面可以使用.
四、云模型
实物期权最初由StewartMyers（1977）提出,定义为包括在一项投资内的具体的投资或者管理的选择权.拥有实物期权的表现在于,在有效期内,实物期权的买方可以根据投资状况和市场变化,灵活地改变投资决策和管理方法,从而实现投资收益的最大化目标.实物期权与金融期权有着明显的不同,实物期权的标的物是一项投资计划或者实物资产,标的资产的价格有可能无法估算,期权的执行价格是整个投资计划或者实物资产的总成本,实物期权由于没有契约所以也无法在公开市场交易.由于实物期权的不可交易性,并且根据无套利原则进行“复制”十分困难.因此,需要对实物期权进行进一步的数学处理,以满足使用B&S模型等期权定价模型的条件.我国学者于少伟（2010）提出使用云模型计算实物期权价格.云在数学上的定义是：是一个论域,L是同U相联系的语言值,U中的元素x对T表达的定性概念的隶属度是一个具有稳定倾向的随机数,隶属度在论域上的分布称为“云”,全称为“隶属云”.利用云模型计算实物期权价格的主要优点在于可以有效解决项目价值和投资成本难以决定的难题.
云模型的基本思想是：首先确定实物期权执行价格和标的资产价值可能的不同的估值区间,之后采用逆向云计算法对若干估值区间进行云化处理,从而得到执行价格和标的资产价值最为合理的区间上限和下限,在使用综合云计算法计算期望值,在获得所需变量的数字后使用具体的期权定价模型计算实物期权的价格.具体的数学处理方法为：首先根据某一变量X给出若干的价值区间,计算样本均值,方差,同时设,使用综合云计算法计算上限和下限的云值,引入具体的期权定价模型,使用公式确定标的资产的波动率,使用、作为标的资产价格和期权执行价格,利用逆向云计算法、综合云计算法所获得的云作为、计算、.
在使用云模型确定期权价格时,需要注意：（1）在确定具体参数时,可能主观判断会影响模型估值的准确性；（2）在进行云计算时,原参数的处理可能导致元参数系数的改变；（3）受到逆向云计算法无法处理区间数的限制,现实中的具体参数很难用具体数值来确定.
五、蒙特卡洛模拟法
由于解析法的数学模型拥有十分严格的假设条件,因此很多期权产品受到标的资产种类、交易规则、执行价格决定方式等的限制,使用数学模型求解期权价格可能存在很大的误差,甚至是错误的.为了避免使用数学模型估计期权价格所面对的维数问题和收敛问题,可以通过多次运算进行大数统计的方法求解期权平均价格和期望值.
MonteCarlo模拟法是一种统计与概率论相结合的综合性计算方法.蒙特卡洛模拟法的基本思路是：在风险中性的假设前提下,通过已知的标的资产的价格分布函数,将期权的有效期平均分割成若干的小时间段,在每个小时间段通过计算机对已知的分布函数进行随机抽样用来模拟标的资产的价格可能的走势,再根据一定的数学方法计算期权的最终价值,利用具体的收益率进行折现计算期权的当期价值,将此次计算出的当期价值作为期权价格的一个样本,不断地重复以上的计算步骤,求解更多可能的期权价格随机样本数值,重复至少几千次同样的运算步骤,在根据求得的期权价格随机样本数值计算算术平均值,求得期权的平均价格.
蒙特卡洛模拟法在欧式期权定价方面的使用上,因为欧式期权只有在到期日才可以执行,因此按照以上提出的思路,计算出从期权发行日到期权到期日的时间内各个小时间段的收盘价,并根据执行价格和到期收盘价的差值计算期权的到期价值.数学表达为：假设标的资产服从风险中性的几何布朗运动,标的资产价格的微分方程为,设Z是一
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个标准正态分布的随机样本,如果整个时间段被分隔成,根据伊藤定理标的资产价格公式为,所以是服从均值为方差为的正态分布,通过随机抽样模拟标的资产的价格走势,按照或者的原则确定买入期权或者卖出期权的价值,最后根据折现后的期权价值现值或者,计算算术平均值或者以确定期权的当期价格.亚式期权定价与欧式期权基本相同,但是在确定执行价格时,要依靠整个模拟过程的价格走势来计算执行价格.美式期权可以在整个期权有效期内的任何时间执行,Longstaff和Schwartz（2000）提出利用最小二乘蒙特卡洛模拟法.在使用蒙特卡洛模拟法计算美式期权价格时,一般来说引入收益率概念,通过比较持有期权的收益率和执行期权的收益率,判断是否执行期权.利用最小二乘法求解持有期权的期望收益的系数,收益率的期望数方程为,需要通过模拟的标的资产价格走势进行逆向求解的方式获得.
在确定蒙特卡洛模拟法的模拟次数的时候,需要平衡运算量和期权价格准确性,保证最有模拟次数.可以引入边际模拟价值概念来决定最优的模拟次数,公式为：,当边际模拟价值接近或等于0时,表明此时的模拟次数是最优的.
六、二叉树模型
二叉树模型是由Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的,二叉树模型与蒙特卡洛模拟法一样,是一种确定期权价格的数值法.本质是通过预测标的资产价格变动方向和价格,根据概率和风险中性假设,得到具体期权的预期价值,通过逆推方法得到期权的当前价格.
建立二叉树模型的基本思路是通过将期权的有效期分割成若干个小的时间段,设定价格上升和下降的幅度,再根据假设的标的资产价格变动的微分方程,根据风险中性原则计算价格上下变动的概率,之后计算期权有效期所有时间段的可能价格.如果期权是欧式期权则考虑到期时的价格并计算期权价值,在通过折现求解期权的当前价格；如果期权是美式期权,则在每个价格点上计算期权的当期价值,在t时刻如果期权价值大于0则执行期权,如果期权小于0则放弃执行,使用具体的收益率进行折现,使用具体的概率值求解期望值,从而得到期权在t-1时刻的价值,重复以上步骤直到当前时刻,得到期权的当期价格.数学模型表达为：一个美式买入期权当前标的资产价格为执行价格为X有效期为T,将期权的有效期分割为n个小时间段,期权的价格只按照u上涨或者按照d下降,第1期买入期权价值为,且,以此类推直至第n期的标的资产价格并且计算美式买入期权的价值,建立买入标的资产和卖出美式买入期权的投资组合,在无套利原则下,无论标的资产价格如何变动,投资组合的收益率始终是无风险收益率,公式表达为且,以此计算对冲比例值,根据方程组计算上升的概率和下降的概率,计算结果为,再延伸至n期的定价模型中,美式买入期权的定价公式为.美式卖出期权的定价思路与美式买入期权的定价思路是一样的,但是在确定卖出期权的价值时需要注意确定原则是,此外计算方法和上升下降的概率公式是一样的.
七、其他期权定价模型
目前,随着数学、统计学、心理学等学科的发展,更多其他专业的研究成果被应用到期权定价问题的研究上,极大地丰富了期权定价领域的内容.但是,现实中各个国家的金融市场受到本国国家发展的影响,有些国家的期权市场很难实现经典模型中所要求的“复制”,从而造成使用风险中性假设、不存在无风险套利投资组合原则的经典期权定价模型实用性降低.金融市场作为一个综合性多层次的交易环境,市场中所有的组成要素都在随时随地发生变化,传统的线性模型经常无法满足现实中金融市场的条件.在期权定价领域中,目前最为普遍使用的非线性模型就是基于神经网络的期权定价模型.神经网络模型对生物的神经网络系统进行模拟,神经元作为基本的计算单位,神经网络的信息处理由网络单元的输入输出、拓扑结构所决定的一个典型的神经网络系统由输入层、隐含层和输出层组成,如图所示：
如果想要获得所预期的结果,就必须经过训练,每条连接的弧线都有自身相应的权重,学习导致弧线的权重数值变化,从而影响实际输入和预期输出之间的误差.输入和输出之间存在一个激活函数,输入值是激活函数自变量的函数,即：；输出结果是激活函数因变量,即：,并且存在反馈效应.描述期权定价问题,利用神经网络模型构建定价模型中的参数的混合密度网络,并基于参数的混合分布计算一段时间后标的资产的价格,进而确定期权的价值.
八、结语
现代金融学,金融资产的定价理论是以无套利定价原则和投资组合复制原则为基础发展起来的.未来在金融工具定价的问题上,需要不断引入更多其他学术领域的研究成果用以帮助定价理论的发展,再者,更需要寻找除了无套利原则和投资组合复制原则以外的其他定价模型推导的原则,深入研究金融市场的特征和与产品市场、甚至政府之间的关联,在模型使用上扩大涉及的范围,在原则上更加贴近现实需要.