分期付款标准回望期权定价的二叉树方法

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【摘 要 】分期付款是一种广泛应用于金融实际的支付形式, 将其引入到标准回望期权中,构造出一类分期付款回望期权,本文主要讨论分期付款标准回望期权的定价技术.

【关 键 词 】分期付款期权 回望期权 修正二叉树方法

一、引言

分期付款(Installment Paying) 是一种广泛应用于金融实际的支付形式,如人寿保险、教育基金保险、住房按揭贷款等都是分期付款.本文将分期付款引入到标准回望期权中,构造出分期付款标准回望期权,可以为投资者提供灵活的进入与退出机制,而且降低投资者风险和投资成本,从而研究这些产品的定价与风险管理显得十分重要.


二、分期付款标准回望期权定价

执行价格为,到期日为T的分期付款标准回望看涨期权,它在t时刻的价格为,期权持有人在t 时刻要继续拥有此期权至到期日T, 必须支付.持有人也可以选择在停时τ∈Tt(Tt是取值与[t,T](t≥0)的停时集合)放弃该期权,获得收益为,同时可以收回余下的期权金Q(τ),那么在τ时刻的总收益为.由风险中性定价原理:

即.

同理,同样得到分期付款标准回望看跌期权的价格函数:,其中.

三、修正二叉树方法

Cheuk1997年对标准回望期权得到一个单状态二叉树模型,该模型简单易懂,已得到广泛应用.但此法收敛速度慢,为了提高其效率,DaiMing在此基础上提出了修正二叉树模型,本节将其推广到对分期付款标准回望期权定价.

现将区间[0,T]进行分割:,定义风险中性概率测度:

.

对于到期日为T的分期付款标准回望期权,在到期日的收益为:.那么表示标准回望看涨期权在tj时刻的价格,定义(),则有:,其中是依赖状态变量和时间变量的函数.那么给定分期付款率q,得到分期付款标准回望看涨期权的二叉树模型:

通过倒推得到初始期权费:,其中V(k,tj)为:

对于修正二叉树模型,将u-j变为即可.

四、数值结果及结论

设定股票的初始价格S0等于100,无风险利率r等于0.04,红利率δ等于0,到期日T等于1,波动率σ等于02,分期付款率q分别为5、10、15,用二叉树模型和修正二叉树模型得到的数值结果如下:

随着分期付款率的增加期权价格呈下降趋势.另外与二叉树模型相比,修正二叉树模型得到的结果收敛速度快,效率高.

利用以上的参数和修正二叉树模型,得到分期付款标准回望看涨期权的最佳停止边界,如图1所示.边界是单调递减的,且分期付款率越高停止区域越大,表明合约之初, 放弃的概率较大, 但随着时间的增加差别逐渐减小. 因此对于分期付款标准回望期权定价来说, 分期付款率的确定非常重要.

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