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平面方面有关开题报告范文,与多视角审视一道立体几何题相关论文题目大全

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教材原题(人教A版高中数学教材选修2-1第109页例4)如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD等于DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.

(1)求证:PA∥平面EDB;

(2)求证:PB⊥平面EFD;

(3)求二面角C-PB-D的大小.

难度系数0.65

思路分析要想证明PA∥平面EDB,可以取BD的中点为O,连接EO,证明PA∥EO即可;要想证明PB⊥平面EFD,可以证明PB垂直于平面EFD内的两条相交直线;要想求二面角C-PB-D的大小,可知∠DFE即为所求角的平面角.

方法1(1)证明:连接AC交BD于点O,连接EO.∵PE等于CE,AO等于CO,∴PA∥EO.∴PA∥平面EDB.

(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD.又BC⊥DC,∴BC⊥平面PCD,即BC⊥DE.∵PD等于DC,PE等于 CE,∴DE⊥PC.∴DE⊥平面PBC,则有DE⊥PB.∵PB⊥

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EF,∴PB⊥平面EFD.

故二面角C-PB-D的大小为60°.

思路分析要想证明线面平行,可以证明面面平行,作一个辅助面PKH平行于平面EDB;要想证明线面垂直,可以利用三垂线定理进行证明;二面角一般是按作、指、证、求的步骤求解,可以过点C向平面PBD作垂线,再过垂足向棱PB作垂线交PB于一点M,连接CM,可得所求角的平面角.

方法2(1)证明:如图2所示,延长CB到点H,使BC等于BH;延长CD到点K,使CD等于DK.连接HK且过点A.∵PE等于CE,∴EB∥PH,ED∥PK.∴平面EDB∥平面PKH.∴PA∥平面EDB.


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(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,∴平面PCD⊥平面ABCD.∴BC⊥平面PCD.∴平面PCD⊥平面PBC.

∵DE⊥PC,∴DE⊥平面PBC.∵EF⊥PB,∴DF⊥PB.又EF∩DF等于F,∴PB⊥平面EFD.

思路分析建立适当的坐标系,利用空间向量证明直线与平面平行或垂直,求二面角的大小可建立空间直角坐标系,设点D为坐标原点,且DC等于1.

思路分析利用平面的法向量进行证明.要想证明PA∥平面EDB,可以证明PA与平面EDB的法向量垂直;要想证明PB⊥平面EFD,可以证明PB与平面EFD的法向量平行;要想求二面角C-PB-D的大小,可以求平面PBC与平面PBD的法向量所成的角.

方法4建立空间直角坐标系,设点D为坐标原点,且DC等于1.

规律总结证明线面平行的方法一般有三种:①证明线与线平行,常用技巧是取边的中点,利用中位线证明;②先证明面面平行,然后证明线面平行;③利用向量法可以证明线与面的法向量垂直.证明线面垂直,可以证明直线垂直于平面内的两条交线,也可以证明直线与平面的法向量平行.

求二面角常用的方法有:①定义法;②垂面法,如方法1;③利用三垂线法,如方法2.

郭统福,中学高级教师,先后在《高中生》等刊物上发表文章200多篇,主编或参编20多部教辅书.阅读他的其他文章,请点击《高中生》高考网.


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