切线在圆几何证明题中的作用

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在圆这章中切线这部分内容的重要性不言而喻,这方面的例子也是举不胜举,本人结合多年的教学实践谈以下几点:

一、锁定切线与直径垂直关系,寻找解题方法

切线是圆中非常重要的一个知识点,在解有关题目时用到的知识点比较多,难度比较大,灵活性比较强.教师在分析问题的过程中要反复强调重点,归纳总结思维方式,从而加深学生的印象.在题目中如果有切线,就会有垂直,进而勾股定理在解题过程中是运用比较多的.

例1:已知:如图,AB是半圆O的直径,过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C,OC与半圆O交于点E,连接BE,DE.

(1)求证:∠CAD等于2∠D;(2)若AB等于5,AD等于4,求AC的长.

分析:(1)由切线的性质得CA⊥AB,即∠1+∠2等于90°;由同角的余角相等得到∠1等于∠AOC.由同弧所对的圆周角相等知∠D等于∠ABE,由外角等于不相邻的两个内角和知∠AOC等于2∠ABE故∠CAD等于2∠D;

(2)连接BD,由直径所对的圆周角是直角得∠ADB等于90°,由勾股定理求得BD等于3.


由△OAC∽△BDA得OA︰BD等于AC︰DA,从而求得AC的值.

解:(1)证明:∵AC是⊙O的切线,AB是⊙O直径,

∴AB⊥AC.则∠1+∠2等于90°,又∵OC⊥AD,∴∠2+∠AOC等于90°,∴∠1等于∠AOC,∵OE等于OB ∴∠OBE等于∠OEB ∵∠AOC等于∠OBE+∠OEB等于2∠OBE ∴∠1等于2∠OBE;∵∠D等于∠ABE ∴∠1等于2∠D即∠CAD等于2∠D;

(2)解:连接BD,∵AB是⊙O直径,

∴∠ADB等于90°,∵AB等于5,AD等于4 ∴BD等于3,∵∠CAO等于∠ADB等于90°,∠2等于∠C ∴△OAC∽△BDA,∴OA︰BD等于AC︰DA,即2.5︰3等于AC︰4,∴AC等于10/3 .

这是一条综合性很强的题目,在本题的解题过程中我们用到了很多知识点,有切线的性质,勾股定理,同角的余角相等,相似三角形的判定,同弧所对的圆周角相等.这就要求在分析问题的过程中老师仔细讲解分析,强调重点,分解难点,使学生能把新旧知识融汇贯通,灵活运用.

二、利用切线巧建直角三角形,解决相应问题

圆是初中数学中非常重要的一块内容,而切线又是圆中一个重要的知识点,熟练掌握切线的性质,能为解题带来很大的帮助.有切线就有垂直,所以勾股定理是解决切线问题必不可少的工具,教师在讲解过程中应加以强调.

例2:已知如图,⊙O的直经为4,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上任意一点,PQ是⊙O的切线,切点为Q,求PQ的最小值是多少·

分析:因为PQ为

切线,由于切线与半径

垂直,所以△OPQ是直

角三角形.又OQ为半

径是确定的,所以在直角三角形中当一直角边确定,斜边最小时,另一直角边也最小.根据垂线段最短,知OP等于3时PQ最小.所以运用勾股定理即可解答.

解:作OP⊥l于P点,则OP等于3.

∵OQ等于2

在Rt△OPQ中,

由勾股定理得PQ等于

√32-22 等于 √5.

这条题目看似简

单,实则很有难度.动点问题一直是学生感觉难以下手的题型,教师在分析问题时要作适当的引导,并强调在运动的过程中寻找不变的量.切线与半径垂直是切线最重要的特征,学生在解题过程中要结合勾股定理灵活解答.

三、利用直角关系,巧判切线存在

切线的判定是切线性质的逆运用,判定方法的归类可以参照性质得到,有切线就有直角,反之有直角才有切线.教师需强调证明的方法有多种,但只要抓住本质,那就万变不离其中.

例3:已知如图,AB是⊙O的直径,D是圆周上一点,连接BD并延长至点C,连接AC,过点D作 DE⊥AC于点E,请你补充一条件 ,求证DE是⊙O的切线.

分析:连接AD,若DE为⊙O的切线,则D为切点,所以只需证到∠EDO等于90°即可.根据现有的已知条件,最简单的方法是补充AC∥OD,根据两直线平行,内错角相等可得∠EDO等于90°,可以证明DE是⊙O的切线.还可补充D是BC中点,由中位线性质定理可得AC∥OD,即得到∠EDO等于90°.也可补充AB等于AC利用圆周角定理和三线合一可以得到点D是BC的中点,OD是△ABC的中位线,OD∥AC,然后由DE⊥AC,得到∠ODE等于90°.

解:当AC∥OD时,∠CED等于∠EDO

∵DE⊥AC,

∴∠CED等于90°

∴∠EDO等于90°

∴DE是⊙O的切线.

当D是BC中点时,

∴CD等于BD.

∵AO等于BO

∴OD是△ABC的中位线

∴OD∥AC

∴DE是⊙O的切线.

当AB等于AC时,如图:连接AD

∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB等于90°,∴CD等于BD

∵AO等于BO∴OD是△ABC的中位线,

∴DE是⊙O的切线.

本题是一条灵活性极强的综合题,它考查了如何判定切线,根据切线的判定定理,一条直线只要过半径的外端点且与半径垂直,即为圆的切线.由此可见当切点明确时,只要找到夹角为直角即可.这题介绍了三种补充条件的方法,用到了平行线的判定,中位线性质定理,三线合一等知识点.教师在讲解的过程中重点是对解题的思维方式的总结,利用一题多解锻炼学生的思维,而不是简单给出结果.

圆这章包含的知识点多,难度大,是很多学生感觉学起来比较累,而且不容易学好的.切线是圆这章中的一部分,也有这样的特点.在学习的过程中一定要紧抓要点,灵活思维,善于分析,深刻理解性质和判定中的条件和结论.多思考,多练习,多总结.这样才有可能把切线这部分内容学深,学透.

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