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摘 要：“良好的方法能使我们更好地发挥运用天赋的才能,而拙劣的方法可能阻碍才能的发挥.”数学习题类型繁多,技巧灵活,不可能总结出一套普遍适用的解题法则.一些结构简单的问题,通过精心的联想就能找到合 数学习题类型繁多,技巧灵活,不可能总结出一套普遍适用的解题法则.一些结构简单的问题,通过适当的联想就能找到合理的解题途径；而结构复杂,抽象多变的数学题,需要在联想的基础上,联合运用解题方法和技能技巧,才能逐步探求解题线索.本文以各种数学思维方法作指导,总结出六种中学数学解题的途径,供同仁们参考.
一、枚举寻径法
有些数学问题中包含着多种可能情形,难以用一个算式完成解答.这时可以根据问题的条件,把各种可能情况一一列举分别予以考查,从而完成原题的解答.这是完全归纳法在解题中的具体运用.在枚举各种可能情况时,要充分利用划分的思想,做到既不重复,又不遗漏.
例1.就k的不同取值,讨论方程x2+（k-1）y2-3ky+2k等于0代表何种曲线.
思考方法：这是一道解析几何的讨论题,枚举k值的各种情况,就是对k值进行划分.为此应用二元二次方程的判别式ΔB2-4AC可以从定型和定位入手,对k进行二次划分.
略解：ΔB2-4AC等于02-4×1×（k-1）等于4（1-k）.
若Δ>0,即k<1时,方程代表双曲线形.当k<-8或0 若Δ等于0,即k等于1时,方程代表抛物线形.此时方程为x2等于3（y-）即表示顶点在（0,）,对称轴为y轴,开口向上的一条抛物线； 若Δ<1,即k>1时,方程代表椭圆形.当1 当一个问题无法入手时,我们不妨先考虑一下这个问题的特殊情况,当特殊情况得到解决的办法时,往往会对一般的解法有所启示,从而探明解题方法.特殊法是不完全归纳法在解题中的灵活运用. 例2.在△ABC中,AB等于AC,证明BC边上的任意一点P到其他两边的距离和是一个定值. 思考方法：定值多少不知道,而P又是BC上的任意一点是导致解题困难的原因.把点P取为一个特殊点B,试一试看. 证明：当点P就是B点时,它到两边距离之和就是AC边上的高BD.任取BC边上一点P,由点P分别向AC、AB作垂线,垂足分别是E、F,现在只需证PE+PF等于DB即可.作PG//AC,交BD于点G,于是PE等于GD,且∠FBP等于∠C等于∠CPB,从而Rt△PGB≌Rt△PFB,因而PF等于BG,于是,PE+PF等于BG+GD等于BD.证毕. 有些数学问题,条件和结论之间的关系比较复杂,直接从已知条件入手有时会在途中迷失方向,使解题无法进行下去.在这种情况下,不妨按照下面的途径来逆推：（1）假设结论成立,看看可以推出什么性质；（2）想一想推出的性质和结论是不是互逆的,如果可逆,那么推出的性质可以作为结论的“需知”；（3）进而考查推出的性质和条件在逻辑上有什么必然的联系,从而使解题的方向逐步明确.逆推法是分析法在探索解题途径中的运用. 例3.在△ABC中,若sinA,SinB,SinC成等差数列,求证：cot（）,cot（）,cot（）也成等差数列. 思考方法：假设结论成立,即有cot（）+cot（）等于2cot（）等（1）而由条件可推得sinA+sinC等于2sinB等（2）,为证得结论成立,只需由（2）推出（1）. 证：由已知条件得,sinA+sinC等于2sinB即2sin[]cos[]等于 2sin（A+C） 由此得2sin[]cos[]等于4sin[]cos[],而sin[]≠0. 得cos[]等于2cos[],移项得,cos[]-cos[]等于cos[],即2sin（）sin（）等于sin（）（3）,又cot（）+cot（）等于 +等于等于等于等于2cot（）,故命题得证. 数学是一个有机的整体,它的各部分之间相互联系,相互渗透,为问题的转化提供了有利的条件.有些数学问题使用通常方法难以奏效时,可以根据题设及其特点把问题转化为另一种易于求解的形式,从而寻求原题的解题途径. 例4.已知a+b等于1,求a2+b2. 思考方法：用常规进行思考,将遇到困难.但观察已知等式可得,1-≤b≤1,且a、b中至少有一个为正数.于是不妨设a等于sinα, 0≤a≤,b等于sinβ,-≤β≤.将问题转换为三角问题. 解：a等于sinα,0≤α≤,b等于sinβ,-≤β≤. 由题设得sinα cosβ+cosα sinβ等于1,即sin（α+β）等于1 因为-≤α+β≤π,所以α+β等于,α等于-β, 故a2+b2等于sin2α+sin2β等于sin2（-β）+sin2β等于cos2β+sin2β等于1. 直角坐标平面和极坐标平面上的点与曲线,复平面上的点和向量,它们都与有序实数对或方程与之对应.这种对应奠定了数形结合的理论基础.“数离形时缺直觉,形缺数时难入微”.一般来说,与方程、函数、不等式、复数及三角有关的问题,运用“形”这个直观模型,常有变中求定,动中求静,化难为易之作用. 例5.解不等式4<2- 思考方法：如果采用纯代数方法解,将要分多种情况讨论,而且计算量大,采用数形结合,则能克服上述弊端. 解：令y1等于4,y2等于2-即求y1 的解集为[-2,][,2]. 有些数学问题,结构比较复杂,不太容易入手.这时可以简化题中的某些已知条件,甚至暂时撇开不管,先开了一个简化命题.这种简化问题,对于解答原题,常常能起到穿针引线的作用.简化条件法是类比法在解题中的具体运用. 例6.设a,b,c均是非负实数,且a+b+c等于1.又设x1,x2,x3均为正数,且y1等于ax1+bx2+cx3,y2等于bx1+cx2+ax3,y3等于cx1+ax2+bx3 求证：y1y2y3≥x1x2x3. 思考方法：本题条件比较复杂,注意到x1,x2,x3；y1,y2,y3具有轮换对称的特点,我们可以把原题减少一个变量,考虑下面的简化命题： 设a,b是均非负实数,且a+b等于1,又设x1x2均为正数,且y2等于bx1+ax2.求证：y1y2≥x1x2. 简化后的命题比原命题要简单得多,显然有y1y2等于（ax1+bx2）（bx1+ ax2）等于ab（x21+x22）+（a2+b2）x1x2≥2abx1x2+（a2+b2）x1x2 等于（a+b）2x1x2等于x1x2 化简后的命题与原命题的结构完全一致,于是上述证明途径,可用以指导原题的证明.应用均值不等式、三数和的立方公式及不等式的性质不难证明原题. 化简命题法体现了解题中“进”与“退”的辩证思想,当“进”有困难时,不妨暂时退下来,退到容易看清楚问题的地方,看透了,认准了,然后再前进. 关于中学数学的解题途径,绝不止上述六种.教师在传授知识的同时特别在例题的教学中,要不时时机地渗透数学思想,总结解题方法和揭示解题途径.这样,对培养学生的逻辑思维,形成一定的数学能力有着极其重要的意义. 二、特殊探索法
三、逆推尝试法
四、变更问题法
五、数形结合法
六、化简条件法