久期与利差乘积:信用债量化新视角

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摘 要 ：市场经验与实证研究均表明,信用债利差绝对波动率与利差水平存在显著的线性关系.DTS（利差与久期的乘积）作为一种量化分析工具,可以准确测算信用债投资收益与信用利差的变动关系.本文选取中债-新中期票据总指数所包含的在银行间市场流通的、信用评级在AA-至AAA的中票和城投债日频中债估值作为样本,计算并验证了DTS的实用性和稳定性,并提出一个基于DTS的市场隐含风险评分体系,最后把该评分体系应用于城投债相对价值的评估,得到了良好的效果.

关 键 词 ：久期与利差乘积DTS信用债信用利差

DTS介绍

DTS（DurationTimesSpread）代表利差久期（对于固定利率信用债而言,利差久期等于标准久期）与利差的乘积,是由美国原雷曼兄弟公司负责量化投资策略的ArikBenDor等人在2007年提出的信用债分析方法中使用的变量.DTS作为描述信用债综合风险的量化分析工具,包含了信用评级、待偿期、发行人及行业等各方面因素,在美国被广泛应用于信用债投资组合风险管理.

对于信用债投资组合风险的衡量,传统分析方法是利用加权久期来测算信用利差平行变化时投资组合价值的变化,但仅仅利用久期并不能全面衡量信用债投资组合的风险.在市场中普遍存在的现象是信用利差越大的信用债,其所代表的系统性风险也越大,在市场波动时其利差波动也越剧烈,使用DTS可以将久期和利差结合起来,更准确地描述其风险.例如,在同一个投资组合中,一只权重为5%、信用利差为80bps、久期为3年的信用债与另一只权重为3%、信用利差为50bps、久期为8年的信用债,对组合的风险贡献程度是一样的.

假设一只信用债的久期为,由利差绝对变化而带来的收益为：

（1）

利用利差相对变化,可以将其表示为：

（2）

正如久期衡量了绝对利差变化对于投资收益的影响,DTS衡量了利差相对变化对于投资收益的影响.

信用债的超额收益率（ExcessReturn）主要由两部分组成：信用利差的持有收益（SpreadCarry）和利差变化所带来的收益（SpreadChangeReturn）.利用公式（1）和（2）,可以测算超额收益率波动率与利差绝对波动率和相对波动率之间的关系.

影响超额收益率波动率的主要是利差随机变化所带来的收益,可以用公式（3）表示：

（3）

同样,可以利用利差相对波动率,将其表示为：

（4）

所以,信用利差绝对波动率与相对波动率之间的关系可以表示为：

（5）

DTS数据分析

为了验证信用利差相对波动率是一个稳定的数值,本文选取中债-新中期票据总指数所包含的在银行间市场流通的、信用评级为AA-至AA的中票和城投债日频中债估值作为数据样本,时间区间为2013年12月至2014年9月,含880只债券210个交易日的数据,共计184800个日频数据.通过简单计算,得到月度平均利差绝对和相对波动率见表1.

根据表1数据,可以得到月度利差相对波动率的平均值为8.95%,这一数值与DTS的提出者ArikBenDor等人利用美国巴克莱投资级信用债指数的计算结果9.1%非常接近.这表明,一只信用利差在100bp的信用债,月均利差变化在9bp左右.因此,本文将利差月度相对波动率称为信用债的9%规律：

（6）

值得注意的是,9%规律适用于大部分时期的市场波动.当黑天鹅事件发生,市场出现极端波动的情况时,会随之增大.经计算,2013年6月“钱荒”发生时

图1绝对和相对波动率的变化情况

（编辑注：图例“绝对波动率”改为“绝对波动率（左轴）”,“相对波动率”改为“相对波动率（右轴）”）

数据来源：中债综合业务平台、Wind资讯

从图1可以看出,信用利差绝对波动率难以预测,而相对波动率则比较平稳,从2013年12月至2014年9月一直保持在9%左右.

另一方面,为了验证超额收益率波动率与DTS之间存在的线性关系（设置截距为0,斜率为）,将样本数据的超额收益率波动率与对应的DTS进行回归分析.回归结果（见表2）显示,与DTS之间存在非常显著的线性关系.

表2超额收益率波动率与DTS回归分析结果

回归统计

RSquare

0.988

AdjustedRSquare

0.845

标准误差

0.044

XVariable1

Coefficient

0.078

标准误差

0.003

t-statistic

23.850

数据来源：中债综合业务平台、Wind资讯

本节通过数据分析验证了两个推论：（1）信用债相对波动率的9%规律,（2）超额收益率波动率与DTS之间存在显著的线性关系.对这两个推论的验证,本文并没有对信用债的行业、发行人、待偿期、信用评级等进行明确分类,而是综合了中债-新中期票据总指数中所有AA-至AA的中票和城投债,这表明两个推论基本适用于我国大多数信用债的风险价值判断.

DTS理论证明

在通过数据分析进行验证之后,本文再利用默顿（Merton）的结构化模型对信用利差与绝对波动率之间的线性关系进行理论证明.根据默顿结构化模型的假设,发行人的所有负债用一个到期日为的零息债券代表,假设无风险利率为,则有： （7）

发行人的总资产用代表,假设遵循一个几何布朗运动：

（8）

其中,为均值,为了简化起见,设,为波动率,是维纳过程.

那么,剩下的净资产可以用一个看涨期权代表：

（9）

所以,信用利差对总资产变化的灵敏度：

（10）

假设总资产的变化是导致信用利差变化的唯一变量：

（11）

那么绝对波动率可以用下面公式表示：

（12）

假设总资产投资收益波动率是个常数,由于：

（13）

其中,,为随机变量的累积分布函数,也是看涨期权的.

那么：（14）

由此可以得到,假设其他项保持不变即为常数时,当信用利差增加时,随之增加,项随之减少,随指数级增加.信用利差与绝对波动率之间的关系可以用一个向下凹的自然指数函数来描述,在实际的信用债利差波动范围之内,与可以近似用线性关系来描述,这也证明了中美信用债市场中都存在着相对波动率的9%规律.

基于DTS的城投债评分体系

根据之前的验证结果,DTS代表了一只信用债或者一个信用债组合的综合风险,同时根据信用债的9%规律,可以估算出信用债利差在一个月之内一个标准差单位的变化.由此,可以建立DTS与到期收益率的直接关系,并通过衡量到期收益率与市场隐含的公允价值之间的偏离程度来对信用债的风险进行评分.

本文将中债-新中期票据总指数（2014年12月1日数据）中所含城投债按照DTS数值大小排序,并按照其当前的到期收益率计算投资1个月后的投资收益.假设投资收益与风险程度DTS成线性关系,并对二者作回归分析.

图2城投债投资收益与DTS

数据来源：中债综合业务平台、Wind资讯

从回归结果（见图2）可以发现,随着DTS的增加,以债券当前到期收益率计算的投资收益随之增加.图2中红色虚线是根据回归模型得出的预测值,本文将此预测值作为市场隐含的公允价值（marketimpliedfairvalue）,并利用该公允价值和绝对波动率计算各只债券的偏离程度.639只城投债评分从-5.1到5.6（见图3）,其绝对值代表了城投债到期收益率与公允价值之间的偏离标准差,正值评分越高代表正向偏离程度越大,该债券到期收益率被高估（未来评级下调或者违约）的概率越大,负值评分越低代表负向偏离程度越大,该债券到期收益率被低估（未来评级上调）的概率越大.

图3城投债偏离概率密度

图3显示,总体上城投债到期收益率偏离程度的分布比较符合正态分布,但是偏离度处在4.4个标准差单位的城投债数量较多（11只）,这些城投债的到期收益率被高估（未来评级下调或者违约）的概率较大.

小结

本文对DTS的有效性和实用性进行了数据分析和理论证明,并建立了一个基于市场价格信息的评分体系,可以对包括城投债在内的信用债进行即时的风险分析.相对于较为滞后的信用评级,DTS对市场反应更加迅捷,在实际应用中可以给信用债投资者以下协助：

（1）对于某一特定券种（如城投债）综合风险的测算,仅利用加权久期并不全面,加权DTS可以给出更加准确的风险评估.

（2）DTS可以用于控制行业集中度以及发行人集中度的测算.比如,如果设定权重、利差和久期三者乘积的额度为5,那么对于发行人A的利差为100BP、久期为5年的信用债在投资组合的权重就不得超过1%.

（3）利用DTS所代表的风险水平追踪债券指数,可以更好地分散投资风险.

（4）为发行人一级市场发行信用债提供合理价格区间,控制融资成本.

整体而言,在我国当前信用债违约概率和违约损失率等历史数据缺失、信用风险缓释凭证（CRMW）等信用风险衍生产品市场不成熟、刚性兑付成为市场常态的条件下,使用DTS可以对信用债投资进行更加准确的优化配置和风险管理.（感谢结算公司管圣义博士在研究中的建议和帮助）