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摘 要：通过讨论几种催化模型及其对应的流行病病例,解释了数学学习与实际病例的关系,提高了学生学习数学的兴趣.
关 键 词 ：催化模型；阳性率；微分方程
在高等数学课的教学过程中,经常会有很多学生问这样一个问题：学习高等数学在实际生活中会有什么样的用处?在医科院校里面这个问题尤其突出,这也从侧面对教师提出一个要求：如何把严肃枯燥的数学内容与鲜活的医学案例结合起来,提高学生的学习兴趣,使学生能够真切地感受到数学在医学实际中的用处.
在大多数医学院校的高数教材中,关于医学的例子并不少见,但是,却让学生兴致缺失,主要是因为这些数学课本中的例题有两大不足：一是对许多实际病例作了简化处理,推出了一些数学模型,但是,结果这些数学模型不能很好地对实际病例做出合理的解释,给学生一种生搬硬套的感觉；另外一个是给出的模型过于复杂,其中涉及的数学和医学知识层次较深,或者解决模型的过程异常繁琐,使学生望而生畏,不愿去解决模型问题.
针对这个问题,笔者根据教学实践,结合流行病学中的“催化数学模型”,给出微分方程应用的一个教学实例.
一、催化模型的建立
催化数学模型在1959年由Muench提出的关于流行病学模型,这个模型主要应用于某些流行疾病的年龄性别阳性率资料.
该模型的建立需要三个假设条件：
1.要求研究对象在出生时都是易感者.
2.某种流行疾病在这组人群中的感染力是恒定不变的.
3.在该人群发生的人口流动、死亡等因素可以忽略不计.在这三个假设条件都成立的条件下,可以得到三个基本流行方程：
（1）简单催化数学模型
二、模型问题的求解
催化数学模型自被Muench提出以来,凭借它的简单和实用等特点受到各地医务工作者的欢迎和喜爱.
在以上三种类型的公式中,方程（1）、方程（2）都属于常见的可分离变量的微分方程.方程（3）属于一阶线性微分方程.在日常的课堂教学过程中,教师可以根据具体情况讲解这些例子.一方面,可以作为可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的例
题,通过日常可见的熟悉病例来求解方程,这时只需对方程的流行病学的意义做个简要说明即可引起学生的强烈学习兴趣；另一方面,教师给出实际数据,进行模型间的拟合,这样的教学效果相对更好一些,但却面临着拟合模型的过程需要用到很多数学知识,如：最小二乘法等.最后是全部解决问题过程的讲解,依据讲解步骤为：问题提出→建立假设条件→建立目标方程→方程求
解→实际应用的扩展.通过这样的授课方式,能提高学生的解题能力和学习兴趣,让学生学以致用,取得良好的教学效果.
催化数学模型在微分方程部分的教学中,通过实际生活中熟悉的病例模型,能引起大部分学生强烈的学习兴趣.通过这类数学模型的深入讲解,学生能把数学知识与医学实际合理地结合起来,并加深了对微分方程内容的理解.同时也会引导学生自己提出问题：这类数学模型的假设条件是否能够继续改进?应怎样改进?随着假设条件的变化,可以得到什么模型?这样学生的学习将会很轻松地达成教学目标.