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2016年全国初中数学联合竞赛试题参及评分标准
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档,第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1.已知,,则的值为()
A.1.B..C..D..
【答】B.
由可得,
即,
即,即,所以.
2.已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数,则第三条高线长的最大值为()
A.B.C.D.的面积为S,所求的第三条高线的长为h,则三边长分别为.显然,于是由三边关系,得
解得.
所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.
3.方程的解的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答】C.
当时,方程为,即,解得,,均满足.
当时,方程为,即,解得,满足.
综上,原方程有3个解.
.4.今有长度分别为1,2,等,9的线段各一条,现从中选出若干条线段组成"线段组",由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形,则这样的"线段组"的组数有()
A.5组.B.7组.C.9组.D.11组.
【答】C.
显然用这些线段去拼接成正方形,至少要7条.当用7条线段去拼接成正方形时,有3条边每边都用2条线段连接,而另一条边只用1条线段,其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和.当用8条线段去拼接成正方形时,则每边用两条线段相接,其长度和相等.
又因为,所以正方形的边长不大于.由于
,,,
所以,组成边长为7,8,10,11的正方形,各有一种方法,组成边长为9的正方形,有5种方法.
故满足条件的"线段组"的组数为1×4+5等于9.
5.如图,菱形ABCD中,,,,,,则
()
A..B..C..D..
【答】D.
过F作AB的垂线,垂足为H.∵,,
∴,,,
又∵,
∴,
从而△FHE是等腰直角三角形,所以HE等于FH等于,
∴.
6.已知,,,则的值为()
A.1.B..C.2.D..
【答】C.
由已知等式得,,,所以.
于是,,所以,,,即.
代入,得,解得.
所以.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
1.在△ABC中,已知,,则.
【答】.
延长AB到D,使BD等于BC,连线段CD,则,所以CA等于CD.
作于点E,则E为AD的中点,故
,
.
在Rt△BCE中,,所以,故.
2.二次函数的图象的顶点为D,与x轴正方向从左至右依次交于A,B两点,与y轴正方向交于C点,若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形(O为坐标原点),则.
【答】2.
由已知,得,,
过D作于点E,,则,即,得,
所以或.又,所以.
又,即,得.
3.能使是完全平方数的正整数n的值为.
【答】11.
当时,,若它是完全平方数,则n必为偶数.
若,则,若,则,若,则,若,则.所以,当时,都不是完全平方数.
当时,,若它是完全平方数,则为一奇数的平方.
设(k为自然数),则.由于和一奇一偶,所以,于是,故.
4.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB交于点E,过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F,如果,,D为EF的中点,则AB等于.
【答】24.
设,则.
连AD,BC.因为AB为⊙O的直径,AF为⊙O的切线,所以.
又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点,
∴,∴,
∴,∴.
在Rt△AEF中,由勾股定理得,即.
设,由相交弦定理得,即,
∴①
又∵,∴.
又,∴,从而.
在Rt△ACB中,由勾股定理得,即,
∴.②
联立①②,解得.
所以.
第二试(A)
一,(本题满分20分)已知三个不同的实数满足,方程和有一个相同的实根,方程和也有一个相同的实根.求的值.
解依次将题设中所给的四个方程编号为①,②,③,④.
设是方程①和方程②的一个相同的实根,则两式相减,可解得.
等等等等5分
设是方程③和方程④的一个相同的实根,则两式相减,可解得.
所以.等等等等10分
又方程①的两根之积等于1,于是也是方程①的根,则.
又,两式相减,得.等等等等15分
若,则方程①无实根,所以,故.
于是.又,解得.等等等等20分
二.(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且,为的中点.求证:(1),(2).
证明(1)由已知得,从而四点共圆,为直径,为该圆的圆心.等等等等5分
作于点,知为的中点,所以等于等于,从而.等等等等10分
(2)作于点,则.
又,
∴,等等等等15分
∴Rt△≌Rt△,∴,
又,所以,故,所以.
等等等等25分
三、(本题满分25分)已知为正整数设,,,O为坐标原点.若,且.
(1)证明:,
(2)求图象经过三点的二次函数的解析式.
解(1)因为,,所以,即.
由,得.等等等等5分
又
,
从而有,即.等等等等10分
(2)由,知是关于x的一元二次方程
①
的两个不相等的正整数根,从而,解得.
又为正整数,故或.等等等等等15分
当时,方程①为,没有整数解.
当时,方程①为,两根为.
综合知:.等等等等等20分
设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得,解得.
所以,图象经过三点的二次函数的解析式为.
等等等等等25分
第二试(B)
一、(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.
二、(本题满分25分)如图,在四边形ABCD中,已知,,,对角线交于点,且.求证:.
证明由已知得,从而四点共圆,为直径.
设为AC的中点,则为四边形ABCD的外接圆的圆心.
等等等等等5分
作于点,则M为BD的中点,所以等于等于,从而.等等等等等10分
作于点,则.
又,
∴,等等等等等15分
∴Rt△≌Rt△,∴,
又,所以,所以,所以.
等等等等等25分
三.(本题满分25分)已知为正整数设,,,O为坐标原点.若,且++等于++).求图象经过三点的二次函数的解析式.
解因为,,所以,即.
由,得.等等等等5分
又
,
从而有,即.等等等等等10分
又,故是关于x的一元二次方程
①
的两个不相等的正整数根,从而,解得.
又为正整数,故或.等等等等等15分
当时,方程①为,没有整数解.
当时,方程①为,两根为.
综合知:.等等等等等20分
设图象经过三点的二次函数的解析式为,将点的坐标代入得,解得.
所以,图象经过三点的二次函数的解析式为.
等等等等等25分
第二试(C)
一、(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.
二.(本题满分25分)如图,已知为锐角△内一点,过分别作的垂线,垂足分别为,为的平分线,的延长线交于点.如果,求证:是的平分线.
证明如图1,作于点,于点,于点,于点.
设,∵,∴.等等等等等5分
若,如图2,作,分别交于点,则△∽△,∴,∴,
∴.
若,则.
若,同理可证.等等等等等15分
∵,∴,∴.
∵,∴,∴.等等等等等20分
又,∴.
又因为是的平分线,所以,∴.
显然,即,∴,∴是的平分线.
等等等等等25分
三、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第三题相同.
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