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2007年初中数学竞赛模拟试题(1)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.方程的所有整数解的个数是()个
(A)2(B)3(C)4(D)5
2.设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且.若在边AC上取一点E,
使四边形DECB的面积为,则的值为()
(A)(B)(C)(D)
3.如图所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC等于2,DA等于3,则AB的长()
(A)等于4(B)等于5(C)等于6(D)不能确定
4.在直角坐标系中,纵,横坐标都是整数的点,称为整点.设为整数,当直线与直线的交点为整点时,的值可以取()个
(A)8个(B)9个(C)7个(D)6个
5.足球赛小组赛,每个小组4个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.小组赛完后,总积分最高的2个队出线进入下轮比赛.如果总积分相同,还有按净胜球数排序.一个队要保证出线,这个队至少要积()分.
(A)5(B)6(C)7(D)8
二、填空题(每小题6分,共30分)
6.当分别等于,,,,,,,,,,,时,计算代数式的值,将所得的结果相加,其和等于.
7.关于的不等式>,的解是<,,则关于的不等式<,0的解为.
8.方程的两根都是非零整数,且,则等于.
9.如图所示,四边形ADEF为正方形,ABCD为等腰直角三角形,D在BC边上,△ABC的面积等于98,BD:DC等于2:5.则正方形ADEF的面积等于.
10.设有个数,,等,,它们每个数的值只能取0,1,-2三个数中的一个,且等,等,则等的值是.
三、解答题(每小题15分,共60分)
11.如图,凸五边形ABCDE中,已知S△ABC等于1,且EC∥AB,AD∥BC,BE∥CD,
CA∥DE,DB∥EA.试求五边形ABCDE的面积.
12.在正实数范围内,只存在一个数是关于的方程的解,求实数的取值范围.
13.如图,一次函数的图象过点P(2,3),交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,求△AOB面积的最小值.
14.预计用1500元购买甲商品个,乙商品个,不料甲商品每个涨价1.5元,乙商品每个涨价1元,尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个,总金额仍多用29元.又若甲商品每个只涨价1元,并且购买甲商品的数量只比预定数少5个,那么甲,乙两商品支付的总金额是1563.5元.
(1)求,的关系式,
(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,求,的值.
参
一、选择题
1.C2.B3.B4.A5.C
二、填空题
6.67.8.-2029.11610.-125
三、解答题
11.∵BE∥CD,CA∥DE,DB∥EA,EC∥AB,AD∥BC,
∴S△BCD等于S△CDE等于S△DEA等于S△EAB等于S△ACB等于S△ACF等于1.
设S△AEF等于,则S△DEF等于,
又△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等,
所以,,而△DEF∽△ACF,则有
.
整理解得.
故SABCDE等于3S△ABC+S△AEF等于.
12.原方程可化为,①
(1)当△等于0时,,满足条件,
(2)若是方程①的根,得此时方程①的另一个根为,故原方程也只有一根,
(3)当方程①有异号实根时,,得,此时原方程也只有一个正实数根,
(4)当方程①有一个根为0时,,另一个根为,此时原方程也只有一个正实根.
综上所述,满足条件的的取值范围是或或.
13.解:设一次函数解析式为,则,得,令得,则OA等于.
令得,则OA等于.
所以,三角形AOB面积的最小值为12.
14.(1)设预计购买甲,乙商品的单价分别为元和元,则原计划是
,①
由甲商品单价上涨1.5元,乙商品单价上涨1元,并且甲商品减少10个的情形,得
.②
再由甲商品单价上涨1元,而数量比预计数少5个,乙商品单价上涨仍是1元的情形,得
,③
由①,②,③得
④-⑤×2并化简,得
.
(2)依题意,有205<,<,210及,54<,<,,
由是整数,得,从而得.
答:(1),的关系,
(2)预计购买甲商品76个,乙商品55个.
2007年初中数学竞赛模拟试题(2)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.已知,,则等于()
(A)4(B)0(C)2(D)-2
2.方程的实根的个数为()
(A)1(B)2(C)3(D)4
3.已知梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于O,△AOD的面积为4,
△BOC的面积为9,则梯形ABCD的面积为()
(A)21(B)22(C)25(D)26
4.已知⊙O1与⊙O2是平面上相切的半径均为1的两个圆,则在这个平面上有()个半径为3的圆与它们都相切.
(A)2(B)4(C)5(D)6
5.一个商人用元(是正整数)买来了台(为质数)电视机,其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构,其余的电视机在商店出售,每台盈利500元,结果该商人获得利润为5500元,则的最小值是()
(A)11(B)13(C)17(D)19
二、填空题(每小题6分,共30分)
6.已知等腰△ABC内接于半径为5cm的⊙O,若底边BC等于8cm,则△ABC的面积为.
7.△ABC的三边长,,满足,,则△ABC的周长等于.
8.若表示不超过的最大整数,且满足方程,则等于.
9.若直线与直线的交点坐标是(,),则的值是.
10.抛物线向左平移3个单位,再向上平移两个单位,得抛物线C,则C关于轴对称的抛物线解析式是.
三、解答题(每小题15分,共60分)
11.如图所示,在△ABC中,AC等于7,BC等于4,D为AB的中点,E为AC边上一点,且∠AED等于90°+∠C,求CE的长.
12.某公交公司停车场内有15辆车,从上午6时开始发车(6时整第一辆车开出),以后每隔6分钟再开出一辆.第一辆车开出3分钟后有一辆车进场,以后每隔8分钟有一辆车进场,进场的车在原有的15辆车后依次再出车.问到几点时,停车场内第一次出现无车辆
13.已知一个两位数,其十位与个位数字分别为,,二次函数的图象与轴交于不同的两点A,B,顶点为C,且S△ABC≤1.
(1)求的取值范围,(2)求出所有这样的两位数.
14.已知是正整数,且与都是完全平方数.是否存在,使得是质数如果存在,请求出所有的值,如果不存在,请说明理由.
参
一、选择题
1.B2.A3..D5.C
二、填空题
6.8cm2或32cm27.148.9.201610.
三、解答题
11.作BF∥DE交AC于F,作∠ACB的平分线交AB于G,交BF于H.
则∠AED等于∠AFB等于∠CHF+∠C.
因为∠AED等于90°+∠C,所以∠CHF等于90°等于∠CHB.
又∠FCH等于∠BCH,CH等于CH.
∴△FCH≌△BCH.
∴CF等于CB等于4,
∴AF等于AC-CF等于7-4等于3.
∵AD等于DB,BF∥DE,
∴AE等于EF等于1.5,
∴CE等于5.5.
12.设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆,此时总共出车S辆,进场车y辆,则
∴,解得.
∵S为正整数,∴S等于56,即到第56辆车开出后,停车场内第一次出现无车
辆.此时,6+等于11.5(时)
答:到11时30分时,停车场内第一次出现无车辆.
13.(1)设A(,0),B(,0),(),则,是方程
的两个不同的实根,所以
,
又(表示点C的纵坐标),所以
S△ABC等于,
从而
故0<
(2)由(1)知,1,2,3,4.
因为被4除余数为0或1,故被4除余数也是0或1,从而1,或4.这两个方程中符合题意的整数解有
故所有两位数为23,65,34,86.
14.设,,其中,都是正整数,则
.
若,则不是质数.
若,则,于是
,矛盾.
综上所述,不存在正整数,使得是质数.
2007年初中数学竞赛模拟试题(3)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.在一个凸边形的纸板上切下一个三角形后,剩下的是一个内角和为2160°的多边形,则的值为()
(A)只能为12(B)只能为13(C)只能为14(D)以上都不对
2.已知关于的方程有两个不同的实数根,则实数的取值范围是()
(A)等于0(B)≥0(C)等于-2(D)>,0或等于-2
3.若正实数,满足,则的最小值为()
(A)-7(B)0(C)9(D)18
4.如图,在△ABC中,∠C等于Rt∠,CD⊥AB,下列结论:(1)DC·AB等于AC·BC,
(2),(3),(4)AC+BC>,CD+AB.
其中正确的个数是()
(A)4(B)3(C)2(D)1
5.设是正整数,0<,≤1,在△ABC中,如果AB等于,BC等于,CA等于,BC边上的高AD等于,那么,这样的三角形共有()
(A)10个(B)11个(C)12个(D)无穷多个
二、填空题(每小题6分,共30分)
6.实数,,满足:,,则的值为.
7.如果对于任意两个实数,,""为一种运算,定义为,则函数(-3≤≤3)的最大值与最小值的和为.
8.已知四个正数,,,满足<,<,<,,它们两两的和依从小到大的次序分别是:23,26,29,93,,,则的值为.
9.已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),O为坐标原点,∠QPO等于150°,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为.
10.在△ABC中,AB等于15,AC等于13,高AD等于12,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R.则R的最小值是.
三、解答题(每小题15分,共60分)
11.实数与使得,,,四个数中的三个有相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(,).
12.如图,△ABC的面积为S,作直线∥BC,分别交AB,AC与点D,E,若△BED的面积为K.求证:K≤S.
13.如图,在直角坐标系内有两个点A(-1,-1),B(2,3),若M为x轴上一点,且使MB-MA最大,求M点的坐标,并说明理由.
14.在△ABC中,AB等于40,AC等于60,以A为圆心,AB长为半径作圆交BC与D,且D在BC边上,若BD和DC的长均为正整数,求BC的长.
参
一、选择题
1.D2.D3.D4.B5.C
填空题
6.07.378.1959.(1,),(-1,)10.或
解答题
11.显然,,所以.
依题意,有或,于是
(1)解得或.
当时,(舍去),
当时,,无解,
当时,,∴,∴
(2)解得
故数对(,)为(,-1),(,-1).
12.设,
∵∥BC,∴,
由,得
∴.
又.
∴.
13.作点A关于轴的对称点A',作直线BA'交轴于点M,由对称性知MA'等于MA,MB-MA等于MB-MA'等于A'B.
若N是轴上异于M的点,则NA'等于NA,这时NB-NA等于NB-NA'<,
A'B等于MB-MA.
所以,点M就是使MB-MA的最大的点,MB-MA的最大值为A'B.
设直线A'B的解析式为,则
解得
即直线A'B的解析式为,令,得.
故M点的坐标为(,0).
14.设BD等于,CD等于,(,为正整数)
作AE⊥BD,垂足为E,则AB等于AD等于40,BE等于DE等于.
∵,,
∴,
∴,
∵20<,<,100,
∴只有或
故BC的长为50或80.
2007年初中数学竞赛模拟试题(4)
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.若,都是质数,且,则的值等于()
(A)2004(B)2007(C)2005(D)2016
2.一个凸多边形恰好有三个内角是钝角,这样的多边形的边数的最大值是()
(A)5(B)6(C)7(D)8
3.已知,且-2≤≤1,则的最大值与最小值的和是()
(A)-1(B)2(C)4(D)5
4.在△ABC中,若∠A等于58°,AB>,BC,则∠B的取值范围是()
(A)0°<,∠B<,64°(B)58°<,∠B<,64°
(C)58°<,∠B<,122°(D)64°<,∠B<,122°
5.直线与轴的交点分别为A,B,如果S△AOB≤1,那么,的取值范围是()
(A)≤1(B)0<,≤1(C)-1≤≤1(D)≤-1或≥1
二、填空题(每小题6分,共30分)
6.若实数满足<,<,,则不等式>,的解集为.
7.设,是方程的两个实根,且.则的值是.
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8.在直角坐标系中,轴上的动点M(,0)到定点P(5,5),Q(2,1)的距离分别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时,点M的横坐标等于.
9.从等边三角形内一点向三边作垂线,已知这三条垂线的长分别为1,3,5.则这个等边三角形的面积是.
10.若正整数,,满足,,则的最大值是.
三、解答题(每小题15分,共60分)
ABC甲1056乙481511.甲,乙两个蔬菜基地,分别向A,B,C三个农贸市场提供同品种蔬菜,按签订的合同规定向A提供45t,向B提供75t,向提供40t.地可安排60t,乙基地可安排100t.甲,乙与A,B,C的距离千米数如表1,设运费为1元/(km·t).问如何安排使总运费最低求出最小的总运费值.
12.已知为质数,使二次方程的两根都是整数.求出的所有可能值.
13.已知CA等于CB等于CD,过A,C,D三点的圆交AB于点F.求证:CF为∠DCB的平分线.
14.一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区.他们出发后以每天m的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回.在出发后的第60天,考察队行进了24km后回到出发点.试问:科学考察队在生态区考察了多少天
参
一、选择题
1.C2.B3.B4.A5.C
二、填空题
6.7.18.9.10.1008.
三、解答题
11.设乙基地向A提供,向B提供,向C提供,则地向A提供,向B提供,向C提供.
依题意,总运费为
.
∵0≤≤100,0≤≤45,当且仅当,时,有最小值,则
(元).
答:安排地向A提供0,向B提供20,向C提供40,安排乙基地向A提供45,向B提供55,向C提供0,可使总运费最低,最小的总运费为960元.
12.因为已知的整系数二次方程有整数根,所以
△等于为完全平方数,
从而,为完全平方数.
设,注意到,故,且为整数.
于是,,则,中至少有一个是5的倍数,即
(为正整数).
因此,
由是质数,>,1,知,3或7.
当时,已知方程变为,解得,,
当时,已知方程变为,解得
所以3或7.
13.连结DF,BD,
∵AC等于CB等于CD,
∴∠A等于∠2,∠CDB等于∠CBD,
∵∠A等于∠1,∴∠1等于∠2,∴∠FDB等于∠FBD,∴DF等于BF.
又∠1等于∠2,CD等于CB,∴△DCF≌△BCF,∴∠DCF等于∠BCF.
即CF为∠DCB的平分线.
14.设考察队到生态区用了天,考察了天,则
,即.
∴(为整数)
由解得,所以.
于是,
答:科学考察队在生态区考察了23天.
1
--
④
⑤