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阳东县2016年中小学教育教学论文类别:中学数学
论文题目三角函数的解题应用
作者姓名郑海明
作者单位阳东县第一中学
联系18316437731
目录
摘 要2
一知识分析3
1.1三角函数恒等变形公式3
1.1.1两角和与差公式3
1.1.2二倍角公式3
1.1.3三倍角公式3
1.1.4半角公式3
1.1.5万能公式4
1.1.6积化和差4
1.1.7和差化积4
1.2网络结构5
二培养我们把三角函数应用于解题过程中的思想5
三三角函数的解题应用6
3.1判断角的终边所在的象限的问题6
3.2求解三角函数式的值6
3.3求解三角函数的值域7
3.4如何巧妙的运用三角函数的奇偶性进而来求解参数的值7
3.5巧妙的运用三角函数的有界性来求解最值8
3.6巧妙的利用三角函数的周期性来解决问题8
3.10化简问题12
三角函数的解题应用
摘 要:本文讲解了在日常教学中我们应该不知不觉得地将不同的数学思维方法贯穿于其中,多方面的的培养锻炼学生的思维能力,并列举实例说明如何运用用三角函数的一些性质解决有关于三角函数的最大最小值问题,三角函数的单调性,奇偶性等等此类问题.
关键字:三角函数最大值最小值三角函数值奇偶性周期性
Applicationinsolvingproblemsoftrigonometricfunction
Abstract:Thisarticleexplainsindailyteaching,weshouldnotthinkthatthemathematicsthinkingmethodinwhichdifferent,manyaspectsoftrainingthestudents'thinkingability,citingexamplesofhowtousesomepropertiesoftrigonometricfunctionsolutionsoftrigonometricfunctionofthemaximumandminimumvaluesoftrigonometricfunction,monotonicity,parityandsoonsuchissues.
keywords:ThetrigonometricfunctionThemaximumandminimum
TrigonometricfunctionofarbitraryanglevalueParityperiodictrigonometricidentities
一知识分析
1.1三角函数的恒等变形公式
1.1.1两角和与差的公式
1.1.2二倍角公式
1.1.3三倍角公式
1.1.4半角公式
1.1.5万能公式
1.1.6积化和差公式
1.1.7和差化积公式
1.2网络结构
二培养我们把三角函数的思想应用于解题过程中
三角函数这一重要的初等函数在我们的数学教材中占有非常重要的比例,与此同时
是我们历届高考所要具体考察的内容之一,我们应该熟练的掌握并运用.
我们要充分的对三角函数的定义和性质进行理解,并能根据任意角的终边上的一点的坐标来求出此角的三角函数值(包括正弦,余弦以及正切).可以利用三角函数线来讨论和研究函数的单调性,周期性,奇偶性等最基本的性质.诱导公式以及其终边相同的角的同名三角函数之间的关系,应该可以熟练的掌握这些公式,并且能够进行恒等的变形.两角的和与两角的差的正,余弦公式.正弦定理以及余弦定理.应该熟练的记住各个公式的结构特征,而且熟练的掌握各个公式的推导过程和各种变形,并能灵活的组织变换,而且要有明确的思维判断的能力.
三三角函数的解题应用
3.1判断角的终边所在象限的问题
根据三角函数的一些特定标准,我们先把问题进行求解,再整理,进而得出最后的答案.我们主要是要通过讨论角的终边所在的不同的象限的不同三角函数值来解决问题.
例1:已知并且那么在哪个象限:
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解:由三角函数的定义知:,,,
∴的终边是在第一象限的
∴故选则A
3.2求解三角函数式的值
三角函数的求值问题在三角函数中是非常常见的,同时也是比较简单的,对于三角函数的求值问题,我们有很多种方法去解决,有时我们可以结合多种方法,进而去简化解题的过程.,
例2:已知,且
⑴.求的值
⑵.的值
解:⑴由于三角函数的定义,我们可以设:
等①
∵
∴等②
又∵
∴且等③
由①②③可得:
即
∴
故
⑵.
3.3三角函数的值域问题
关于三角函数值域问题一直都是和高考的重点.此类问题主要三角函数基础知识,合其他模块知识综合应用函数f(x)等于sin(w+φ)(w>,0|φ|<,π/2)的最小正周期π,图像向左平移π/6个单位奇函数,函数f()的图像关于什么对称∵f()的最小正周期π ∴,
则原函数为f()等于sin(2+φ) ∵f()向左平移π/6个单位后奇函数 ∴平移后的函数奇函数
∴它的对称轴为
由题意, ∴y关于对称
3.5巧妙的运用三角函数的有界性来求解最值
在解题的最值的过程中,我们经常运用到三角函数的有界性,比如:对于任意的一个实数,正弦函数和余弦函数的绝对值都是小于且等于1的,进而来解决问题,如果能巧妙的运用,那么我们就可以达到事半功倍的效果.
例5:已知的最大值为,现在我们来求其最小值.解
简评:本题非常巧妙利用三角函数的有界性,进而来解决三角函数方程的最值问题.此类题目不仅要求学生具有比较敏锐的分析能力,同时也要求学生具有逻辑思维能力.
3.6巧妙的利用三角函数的周期性来解决问题
余弦函数和正弦函数的最小正周期皆为2π,但是余切函数和正切函数的周期皆为π.我们经常把三角函数的周期性和三角函数的图象综合起来解题.
例6:有一个函数f(θ)等于Asinωθ+Bcosωθ(A,B,ω是实常数,ω>,0),它的最小正周期为2,并且当θ等于时,
(1)求f(θ).
(2)在闭区间上是否存在f(θ)的对称轴如果存在,求出它的对称轴方程,如果不存在,请说明理由.
解:原式
3.7证明三角恒等式的问题
利用三角函数的性质求解.三角变换问题是高中数学中见而且是重要的一类题目.类型题目灵活多变,讲究解题技巧.初步的探讨对高中数学教学有,再通过总结经验,利用三角函数的性质求解.
三角函数最值问题包括了三角函数的概念性质图像诱导公式,同角三角函数间基本关系,两角和差以及倍角公式是函数思想的具体体现,有广泛的应用,下举例介绍求三角函数最值θ的值,
(2)求函数的最小值和最大值.
3.9数形结合问题
数形结合的方法指的是将数或者量和函数图形紧密的结合在一起,再进行思考,研究,分析,讨论,以解决问题的思维方式,数形结合的思想可以通过运用平面图形来准确的展现出非常复杂的数量之间的关系.再通过三角函数知识体系的学习,使我们把函数的图形更好的结合到三角函数当中,我们更应该充分的利用三角函数的图像来解决现实生活中的实际问题.
大多数的三角函数的变换问题都包含了很多几何直观图形,如果此时能很好的以数思形,数形交融,那么就可以探索出一条新的解题路径.那么现在我们通过单位圆来构造三角形,利用直线和曲线的方程等诸多方法来研究数形结合的思想.
例10:已知,β,若它们满足,,那么求的值.
解析:∵点,两点都在单位圆上.
由已知的条件可得:的中点的坐标为,即直线过
定点C
如图
点评:本题也可以运用和差化积的公式来求得,但是在三角函数的问题中还有一种比较常见的研究方法,就是利用单位圆.在三角函数的变换过程中,数形结合的方法应用的比较广泛.如果我们将三角函数的思想和代数,几何联系起来,而且能很好的运用,那么在解决三角函数的问题,不仅仅需要发散的思维,积极的构思,细致的分析过程,还能更好的了解数学知识体系,也更有利于我们更深一步的探求,更进一步的提高学生的创造性思维和思考能力.
上面讨我们讨论了三角函数变换中的诸多变换思想和解题方法,但是在具体的解题过程中,这些方法我们都要灵活的使用.但在掌握这些方法的前提是要熟悉公式,并且能妥善的运用公式的变形,还应用发散性的思维去考虑问题.
3.10化简问题
化简问题实际上就是把所要解决的问题转变成一个比较容易的或者已经知晓的问题,也是把新的转化为旧的,把不知道的知识转化为已经知道的知识,把繁琐的问题转化为容易的问题,在三角函数的解题中较多的使用了化简的方法.
可以通过利用三角函数的诱导公式进而把任意角的三角函数值化简来求解,化到零度到三百六十度之间,进而再化到锐角来求解函数值.
例11:化简
解析:可以利用降幂公式或积化和差公式以及和差化积公式等等进行三角函数的恒等变形.