渗透数形结合思想,数形结合文参考文献解决

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《几何画板》课件制作

——圆锥曲线的形成和画法

作者:马现岭

摘 要

《几何画板》》TheGeometer'sSketchpadisanexcellentplatformforteachingofgeometry(planegeometry,analyticgeometry,projectiongeometryandsolidgeometry).Italsoappliestoteachingofpartialphysicsandastronomy.Thisplatformnotonlycanhelpteachersusethemoderneducationtechnologyinthecourseofteaching,butalsocanhelpstudentsgrasptheinwardnessofscience,andcultivatetheirabilityofobservation,solvingquestion,andprogressingtheirideation.Itrepresentsthedevelopingdirectionoftheeducativetoolsoftware.

AfterIlearntheGeometer'sSketchpad,Ihemadekindsofprehensivemathematicscoursewares,mainlyincluding:Demonstratethedevelopmentofconecurve.Thesekindsofcoursewaresheveryimportantapplicationonteaching.In"Thenewestordinarymiddleschoolmathematicscoursestandard",itisemphasizedthat"teachershoulddemonstratetostudenttheplanesectionellipsethatconegets,makestudentdeepentheunderstandingforconecurve,undercertainconditionschoolsshouldplaytheroleofmoderneducationaltechnologyfully,usingputertodemonstrationiningofconecurvefromconebytheplane.Itshowsthattheteachingofconecurvehasgreatdifficultyinformerteachingcourse,justbecausethateducatingtechnologyfallbehindbefore,anditcannotbeactiveandvisualtoexplain.Now,herearethesecoursewares,wecanreachactiveandvisualteachingeffect.Thesecondkindofsidespreadoutproblemisconcernedwithinformerlesson,butthemethodtoproduceiussy.ThebiggestadvantageofmylessonliesinthemethodthatIheusedaunificationtocarryout,sothatthetimetoproduceisshortenedgreatly,andhasreachedverygooddemonstrationeffect.

Thepapertextisposedofthreeparts:

Inthefirstpart:IwritesomefundamentalaboutwhatkindsofproblemwecanmakethecoursewaresintheGeometer'sSketchpad.

Inthesecondpart:ThemathematicscoursewaresanditsproducecoursethatIselecttomakeareintroducedindetail.

Inthelastpart:IrelatetheexperiencestudybyusingtheGeometer'sSketchpad.

Keywords:TheGeometer'sSketchpad,markvector,ellipse,conecurve,conesection,trace.

引言

TheGeometer'sSketchpad是美国优秀的教育软件.由美国NicholasJackiw和ScottSteketee程序实现,StevenRaussen领导的KeyCurriculum出版社出版.它的中文名是《几何画板─21世纪的动态几何》,以下简称《几何画板》小巧玲珑,操作简单,是数学学习的有力助手.它可以说是我们的数学实验室,因为它能够有效地使数形结合,使我们在数学学习中既理解了数学结论,又得到了数学经验.数学是训练逻辑思维的,尤其几何.辅导,在自己的记忆中形成—套逻辑思维体系那么怎样才能使我们好地理解几何知识,掌握逻辑思维方法呢一是多看,多想,增加我们的学习经验,另一个方法就是寻找良好的辅助工具,帮助我们在动态的几何之中,去观察,探索.》》

总之,在所做课件中我们能够充分体现出《几何画板》的以上优势,并能够恰当的应用到教学实践中,为教学服务.这就可以称作是一个成功的课件设计.利用《几何画板》就是要充分利用它动态几何的特点,把在传统教学中比较难描述清楚的图形,用动态效果展现给学生,从而达到更好得教学效果.

第二部分课件设计与制作

第一类课件:圆锥曲线的形成

选题:圆,椭圆,抛物线,双曲线这四种曲线可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线,故它们统称为圆锥曲线.在中学数学教学中,很难用实物教具演示圆锥曲线的形成过程.在学习之初,学生很难对圆锥曲线的形成有一个直观的认识.现利用几何画板模拟不同的平面截圆锥面的过程,动态演示不同圆锥曲线及截面的形成,为高中数学圆锥曲线的学习作引入.这样设计使学生对抽象的圆锥曲线概念有一个更感性的认识,更便于学生理解圆锥曲线的实际意义.

原理:圆锥面被一平面所截所得的曲线形有:圆,椭圆,抛物线,双曲线.

制作过程:圆锥曲线的构造

构造能够控制截面作移动和倾斜变化的示意图

1作小椭圆:利用同心圆法作椭圆,椭圆的长半轴为OA,短半轴为OB,

过O作OA的垂线,在垂线的上方任取一点H,作线段HO并隐藏垂线.用线段连接AH,分别在线段HO和AH上任取点C和点D,连接CD,

作截面:以点C为圆心,以小线段r为半径作圆.在上半圆上任取一点E,隐藏小圆.依次选定点E和点C并标记为向量,把点C按标记向量平移得到点E′,再依次选定点C和点D并标记为向量,把点E和E′按标记向量平移得到点F和F′.同时选定点E,F,F′和E′,用线段相连得截面EFF′E′,并涂上浅黄色,如图1所示:

<,图1>,<,图2>,

注意:利用示意图控制截面作移动和倾斜变化:

拖动点A或点B,可以改变椭圆的大小,

拖动点C或点D,可以使截面EFF′E′上下移动或上下倾斜,

拖动点E,可以使截面左右倾斜或翻转.

构造圆锥面被截面所截形成圆锥截面曲线的过程

做大椭圆:利用同心圆法作椭圆,椭圆的长半轴O′A′等于2|OA|,短半轴O′B′等于2|OB|,椭圆中心为O′,

作圆截面:依次选定点O和点H并标记为向量,把点O′按标记向量平移两次得点H′,使O′H′等于2|OH|.在椭圆上任取一点P,用线段连接O′P依次选定点P和点H′并标记为向量,把点H′按标记向量平移得点P′,用线段连接PP′和A′H′,

作P′轨迹,同时选定点P和点P′,执行〈作图/轨迹〉选项,求得一个与圆椭圆关于H′对称的椭圆,

作PP′轨迹,再同时选定线段PP′和点P,执行〈作图/轨迹〉选项,作出圆锥面,并用浅颜色表示.

作截面:依次选定点O和C并标记为向量,把点O′按标记向量平移两次得点C′,使O′C′等于2|OC|.过点C′作平行于CD的直线a交H′A′于点D′.在直线a上任取一点M,选定点M和C′并标记为向量,把点C′按标记向量平移得点M′.过点M作EE′平行线d,在d上任取一点N,选定点N和M并标记为向量,使点M按标记向量平移得点N′.依次选定点M和M′并标记为向量,使点N,N′按标记向量平移得点Q和Q′.隐藏直线d,用线段连接N,N′,Q′,Q得截面NN′Q′Q,并涂上浅黄色.

作圆锥曲线:先求作截面NN′Q′Q与棱H′P的交点G.过点D′作O′A′平行线交O′H′于O″点.分别过点O″和D′作线段O′P和FF′的平行线b和c,并交于点R.作直线RC′,求得RC′与PP′的交点G,即为截面与棱PP′的交点.隐藏除直线a外的所有直线.

求点G的轨迹,同时选定点G和点P,执行〈作图/轨迹〉选项,求得截面与锥面相交的圆锥曲线.根据截面不同位置,点G的轨迹可分别形成椭圆,抛物线,双曲线等,建立动画按钮控制截面的运动,改标签为"圆锥曲线".

用同样方法,可求得圆锥曲线在水平面上的投影,即过作A′O′的垂线与PO′交于点G′,求点G′的轨迹即是.

(6)在控制图上选取四个特殊点,此时所成圆锥曲线为双曲线,抛物线,椭圆,圆.分别构造到这几个点的移动按钮,并改名为"双曲线","抛物线","椭圆","圆"如图2所示:

第二类课件圆锥曲线的画法

选题:圆锥曲线的画法虽然很多种,但归纳起来有以下五种:

1.利用圆锥曲线的第二定义,

2.利用圆锥曲线的第一定义,

3.利用圆锥曲线的参数方程,

4.利用圆锥曲线的极坐标方程,

5.利用圆锥曲线的标准方程.

此部分将将详细介绍以上方法,并将以动态的形式展示出来.

一、由第二定义出发统一构造椭圆,抛物线和双曲线

原理:到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹:

当0<,m<,1时,轨迹为椭圆,当等于1时,轨迹为抛物线,当m>,1时,轨迹为双曲线.

制作过程:

如图(3)所示:打开一个新画板,画一条竖直的直线j(定直线)和直线外一点A(定点).在直线j上取点C,过点A,C作直线j的垂线l,k,点B,C为垂足.

<,图3>,

2)取点C,B作圆C1,交直线k于E.

3)新建参数t,并标记比值,让点E以C为中心,按标记比进行缩放得E'.

4)取C,E'作圆C2,取CA的中点G和点C作圆C3,交C2于F.

5)用直线连接A,F交直线k于D,则AD/CD等于CE/CE'等于1/t.

6)选中C,D作轨迹,作点D关于直线l的对称点D',选中C,D'作轨迹,最后隐藏不必要的对象.

说明:(1)在圆C1中,CB等于CE,在圆C2中,CF等于CE',在⊿BCF和⊿ADC中,因为∠CFB等于∠ACD等于∠BAC,∠CBF等于∠DAC(同弧上的圆周角相等),所以⊿BCF和⊿ADC为相似三角形.则CB/CF等于AD/CD等于CE/CE'等于m等于1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m.

(2)单击"运动参数t"按钮,比值m随之改变,这时可以动态地看到,当m小于1的值逐渐变为1时,轨迹由椭圆变成抛物线,当m大于1时,轨迹变成双曲线.

二、由第一定义出发,构造椭圆和双曲线及抛物线

原理:椭圆(双曲线)——到定点的距离和定直线的距离之和(差)等于定值的点的轨迹,

抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹.

制作过程:

1.椭圆(或双曲线)的制作:

<,图4>,<,图5>,

2.抛物线的制作:

<,图6>,

三、利用参数方程构造椭圆和双曲线

作椭圆

原理:利用椭圆参数方程

制作过程:

如图(7)所示:开一个新画板,画线段AB,以A为圆心,AB为半径构造大圆C1.

<,图7>,

构造过点A与AB垂直的直线k,在直线k上取一点C,以A为圆心,以AC为半径构造小圆C2.

在大圆C1上任取一点D,构造过点D和点A的直线l,直线l与小圆C2交于E.

构造过E与AB平行的直线m.

5)构造过D与AB垂直的直线n,并构造m与n的交点F.

6)建立轨迹:同时选中点D和点F,单击<,构造/轨迹>,选项,画板显示椭圆,拖动点A或点C,可以改变椭圆的形状.

7)除了保留点A,B,C和椭圆轨迹外,隐藏其它对象.

作双曲线

原理:利用双曲线参数方程

制作过程:

打开一个新画板,单击<,图表/定义坐标系>,,建立直角坐标系,标记原点为A,单位点为B.

在x轴上取一点C,按顺序选取A,C,单击<,作图/以圆心和圆周上的点绘圆>,记为C1,同样,在y轴上取一点D,构造以A为圆心通过点D的圆C2.

在C1上取一点E(自由点),构造过A,E的直线j.

构造过E和AE垂直的直线k,并构造k与横轴的交点F.同样构造过F

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构造C2与x轴正向的交点G,并构造过G与x轴垂直的直线m,交直线j于H,过H与x轴平行的直线o,交直线l于I点.

构造轨迹:同时选中点E和点I,单击<,作图/轨迹>隐藏不必要的对象.

说明:(1)选中I点,单击<,显示/追踪交点>,,再选中E点,单击<,编辑/操作类按钮/动画>,,并把标签改为"双曲线".隐藏除I点和坐标轴的其它对象.单击"双曲线"按钮可动态演示双曲线的形成.如图(8)所示:

<,图8>,

四、利用在极坐标系下,圆锥曲线的统一方程

原理:在极坐标系中,椭圆,抛物线,和双曲线的统一方程为:

当0<,e<,1时,方程代表椭圆,

当e等于1时,方程代表抛物线,

当e>,1时,方程代表双曲线.

制作过程:

打开一个新画板,单击<,编辑/参数选项>,,在打开的"参数选项"对话框中单击"单位",把角度选为弧度并单击"确定".

单击<,图表/定义坐标系>,,再单击<,图表/隐藏网格,标记原点为O单位点为B.如图(9)所示:

<,图9>,

画射线CD,在CD上画一点E,在极轴的反向延长线上画一点F.

度量线段CE,CD,FO的长,过F作极轴的垂线k.设PO等于p.

计算CE/CD,设CE/CD等于e.隐藏CD,CE的度量值.

画单位圆,在单位圆上画一点G.先选择点B,G,单位圆,单击<,构造/圆上的弧>,,顺序选取点B,O,G,单击<,度量/角度>,,得∠BOG的大小,设∠BOG等于θ.用线段连结O,G,选中弧BG并单击<,构造/弧内部/扇形内部>,,扇形即被着色.

计算.

先后选择计算值,角度值θ(注意顺序),并单击<,图表/绘制点>,,得到的点记为H.同时选择G,H,单击<,构造/轨迹>,,得到方程的曲线.

选中点E,单击<,编辑/操作类按钮/动画>,,弹出如图(10)所示:对话框.修改标签为"运动点E得不同的圆锥曲线".

<,图10>,<,图11>,

说明:1.拖动F可以改变参数p的大小.

2.单击"运动点E得不同的圆锥曲线",E点在射线CD上运动,当E点在CD之间运动时得椭圆,在D点时得抛物线,在D右侧得双曲线.

五、利用椭圆,抛物线和双曲线的标准方程作曲线

这里只介绍椭圆的作法,抛物线和双曲线同样可以作出.

椭圆的制作

原理:由椭圆的标准方程

制作过程:

打开一个新画板单击<,图表/定义坐标系>,,建立直角坐标系.标记原点为A.如图(12)所示:

<,图12>,<,图13>,

在x轴上取一点C,在y轴上取一点D,然后度量A,C两点的距离.选中A,C.单

击<,度量/距离>,,同样度量A,D两点的距离.分别改标签为a,b.

在x轴上取一点E,并度量其横坐标XE.

单击<,度量/计算>,,输入如图(11)所示:计算出的值,选择xE,计算值(注意顺序)单击<,图表/绘制(x,y)>,,得点F.

作轨迹:选中E,F,单击<,作图/轨迹>,,作出上半个椭圆.

双击x轴,这样把x轴标记为镜面,选中点F,单击<,变换/反射>,,得到的点为F'.然后选中E,F',单击<,作图/轨迹>,,作出下半个椭圆.

选中上半个椭圆,单击<,编辑/属性>,,得如图(13)所示对话框,并把采样数量改为5000,然后单击"确定".同样修改下半圆的属性.这样可以使椭圆的图像比较平滑.

第三部分学习几何画板的体会

计算机在数学教学中有着它的独特作用,在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段.在帮助学生系统地复习,运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式,特别它的表述的方式很灵活,可以以文字,图形,动画,电影,图表等多种方式出现.——例如:几何问题,部分物理问题,天文问题等.这是因为《几何画板》课件要遵循一定的几何关系.这也告诉我们利用《几何画板》制作课件,就要具备一定的数学知识.

总之,《几何画板》为我们创造了一个数学实验室,提供了一个理想的"做数学"的环境.使学生从传统的"听"数学转变为"做"数学,也就是以研究者的方式参与包括发现,探索在内的获得知识的全过程.具有动态直观,数形结合,色彩鲜明,变化无穷的特点,能极大的增强学生的学习兴趣,是一个很有发展的教学平台.作为一名数学教师应该学会它,并能够利用这个平台自主研发适合自己教学的课件.通过这两个课件的设计,我深入理解并熟练掌握了《几何画板》课件研发的主要过程,为以后的数学教学工作打下了良好的基础.