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中考总复习九:不等式与不等式组
一、目标与策略
学习目标:
能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题
复习策略:
二、学习与应用
知识点一:不等式的概念
(一)不等式
用表示的式子叫做不等式.
不等式的解集
使不等式成立的的值,叫做不等式的解集.
解不等式
求不等式的的过程,叫做解不等式.
知识点二:不等式的性质
不等式的基本性质
性质1:不等式的两边都加上或减去同一个,不等号方向,
性质2:不等式的两边都乘以或除以同一个,不等号方向,
性质3:不等式的两边都乘以或除以同一个,不等号方向.
不等式的其它性质
若a>,b,则ba,若a>,b,b>,c则ac,
若,且,则ab,若,则a0.
知识点三:一元一次不等式
一元一次不等式的概念
只含有个未知数,且未知数的次数是次的不等式叫做一元一次不等式.
一元一次不等式的一般形式
.
解一元一次不等式的一般步骤:
去,去,,合并项,系数化成,检验检验步骤可以不写出来.
要点诠释:
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似,但要特别注意不等式的两边都或同一个时,不等号要改变方向.
知识点四:一元一次不等式组
一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式组成的一组不等式,叫做一元一次不等式组.
一元一次不等式组的解法:
分别解每一个不等式,
找出解集的☆借助数轴法,☆规律推断法,
写出不等式组的解集.
要点诠释:
数轴上表示解集时,要注意空心圆圈和实心圆的区别.
知识点五:一元一次不等式的应用
列一元一次不等式解实际应用问题,可类比列一元一次方程解应用题的方法和技巧,不同的是,列不等式解应用题,寻求的是关系,因此,根据问题情境,抓住应用问题中"关系的关 键 词语,或从题意中体会,感悟出不等关系十分重要.
要点诠释:
面对实际问题时,我们首先需要的是认真阅读理解分析题目,审题目中的事和理,以此抓住数量关系,设,列,解,答,可以对比以前的列方程和方程组解应用题的学习,此处难度增多,设时需关注细节,一般都不是求什么设什么,列时需关注含不含边界,解的易错点本身就够多,答时还需关注完整方案的表述
考点一:不等式的性质
例1.设a>,b,用">,"或"<,"填空
-4a-4b,,b-5a-5,6a6b
思路点拨:利用不等式的基本性质.
解:②③④
(2)(2016济南)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是()
A.B.C.D.
总结升华:
利用不等式的基本性质时,注意在不等式两边同或一个数时,不等号的方向要改变.
举一反三
【变式一】已知x<,0.5,比较2-4x和18x-9的大小.
思路点拨:比较两个代数式的大小,我们可以运用所学不等式的性质得出如下结论方法:两个数量的大小可以通过它们的差来判断:
a>,ba-b>,0
a等于ba-b等于0
a<,ba-b<,0
解:
考点二:一元一次不等式组的解法
例2.不等式的解集是)
A.x<,2B.x>,2C.x>,1D.x<,1
解:
的解集在数轴上表示正确的是()
解:
举一反三
【变式一】解不等式:.
解:
总结升华:解一元一次不等式到ax>,b这一步时,一定要注意不等式性质的使用,若a0,使用性质2,若a0,使用性质3,使x的系数为,不等号的方向.
【变式二】解不等式:,并把解集表示在数轴上.
解:
总结升华: .
例3.解不等式组,并在数轴上把解集表示出来.
解:
总结升华:一元一次不等式组的解集的求法是:
1),
2).
举一反三
【变式一】解下列不等式组:
1),2),3),4)
解:
总结升华:经过对比思考,不难发现不等式组解集的四种情况:
xb同大取大xa同小取小axb大小,小大两边夹小小,大大无解答例4.不等式的负整数解是_________________.
解:
举一反三
【变式一】求不等式-1<,2x+1<,7的整数解.
思路点拨:这道题实际上是一个不等式组.求不等式组的整数解,用数轴来解更方便.
解:
总结升华: .
考点三:根据不等式组的解集,求不等式组中字母的取值范围
例5.如果不等式2的解集是-4,则的值为).
A.等于B.C.>,D.<,
思路点拨:从不等式的解集看,不等号的方向改变了,所以0,且.
答案:.
例6.若关于x的不等式的整数解共有4个,则m的取值范围是()
A.6<,m<,7B.6≤m<,7C.6≤m≤7D.6<,m≤7
≤x<,m,整数解共有4个潍坊不等式组的解是,那么的值等于.
思路点拨:先解不等式组得出含有的不等式的解集,对照已知条件,求出的值.
解:
举一反三
【变式】若不等式组的解集是,则.
解:
【变式】如果关于x,y的二元一次方程组的解是正整数,求整数P的值.
解:
考点四:一元一次不等式组的应用
例7.某渔场计划购买甲,乙两种鱼苗共6000尾,甲种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8元.相关资料表明:甲,乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%.
若购买这批鱼苗共用了3600元,求甲,乙两种鱼苗各购买了多少尾
若购买这批鱼苗的钱不超过4200元,应如何选购鱼苗
若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且购买鱼苗的总费用最低,应如何选购鱼苗
解:
市政公司为绿化一段沿江风光带,计划购买甲,乙两种树苗共500株.甲种树苗50元/株,乙种树苗80元/株,有关统计说明:甲,乙两种树苗的成活率分别为90%和95%.
若购买树苗的钱不超过34000元,应如何选购树苗
若希望树苗的成活率不低于92%,且购买树苗的费用最低,应如何选购树苗
解:
例8.某宾馆一楼客房比二楼少5间,某旅行团有48人,若全安排在一楼,每间住4人,则房间不够,如每间住5人,则有的房间没有住满5人,又若全安排在二楼,如每间住3人,则房间不够,如每间住4人,则有房间没有住满4人,问该宾馆一楼有多少间客房
思路点拨:此题反映的是一个不等关系的应用题,关键是抓住不够和没住满表示不等关系.
解:
举一反三
【变式】淮安市小明放学回家后,问爸爸妈妈小牛队与太阳队篮球比赛的结果.爸爸说:"本场比赛太阳队的纳什比小牛队的特里多得了12分".妈妈说:"特里得分的两倍与纳什得分的差大于10,纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多".爸爸又说:"如果特里得分超过20分,则小牛队赢,否则太阳队赢".请你帮小明分析一下,究竟是哪个队赢了,本场比赛特里,纳什各得了多少分
思路点拨:抓住关键语句"特里得分的两倍与纳什得分的差大于10,纳什得分的两倍比特里得分的三倍还多".利用这两句话所表达的不等关系列出不等式组.
解:
【变式】光明中学9年级甲,乙两班为"希望工程"捐款活动中,两班捐款的总数相同,均多于300元且少于400元,已知甲班有一人捐6元,其余每人捐9元,乙班有一人捐13元,其余每人捐8元,求甲,乙两班学生总人数共是多少人
解:
总结升华: .
【变式】五一黄金周期间,某学校计划组织385名师生租车旅游.现知道出租公司有42座和60座两种客车,42座客车的租金每辆为320元,60座客车的租金每辆为460元,若学校同时租用这两种客车8辆可以坐不满,而且要比单独租用一种车辆节省租金,请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案.
解:
总结升华: .
【变式】哈尔滨晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购A,B两种型号的轿车,用300万元可购进A型轿车10辆,B型轿车15辆,用300万元也可以购进A型轿车8辆,B型轿车18辆.
1)求A,B两种型号的轿车每辆分别为多少万元
2)若该汽车销售公司销售1辆A型轿车可获利8000元,销售1辆B型轿车可获利5000元,该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A,B两种型号轿车共30辆,且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元,问有几种购车方案在这几种购车方案中,该汽车销售公司将这些轿车全部售出后,分别获利多少万元
解:
总结升华: .
数量关系中的不等和相等是事物运动和平衡的反映.研究数量的不等关系,可以更好地认识和掌握事物运动和变化的规律,一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具,又是学习其它不等式的基础,同时,在不少数学问题中,也常直接或间接地应用到一元一次不等式和一元一次不等式组的知识.因此,一元一次不等式及一元一次不等式组在整个初中数学中是非常关键而又十分重要的内容.
在近年的中考试题中,一元一次不等式和一元一次不等式组的常见题型有:填空题,选择题,解不等式或不等式组的题型以及综合题(例如一元二次方程的根的判别,函数自变量的取值范围的确定等).主要考查的内容有:根据题意列不等式,不等式的性质,不等式的解集及表示方法,一元一次不等式及一元一次不等式组的解法,一元一次不等式及一元一次不等式组的整数解问题以及应用问题.由于初中数学中的变量取值范围的确定的问题,只能运用一元一次不等式或一元一次不等式组的知识来解决,因此可以说,这一内容贯穿整个初中数学的全过程.近年来,数学应用问题更加贴近生活,更具有开放性,也更能表现事物运动和变化的规律,在解决这些问题的过程中也就更多地用到不等式的知识.
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式.复习该内容应以不等式的基本性质为前提,理解掌握一元一次不等式(组)的解法,并借助数轴确定不等式(组)的解集.同时,要与方程(组)的解法进行类比,明确二者的区别与联系,进一步加强对本专题知识的理解.因此,要运用数形结合的思想,分类讨论的思想以及不等式来处理解决实际问题.
数形结合的思想在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现,在数轴上表示解集比在数轴上表示数又前进了一步,把不等式的解集在数轴上直观地表示出来,可以形象,直观地看到不等式有无数多个解,并易于确定不等式组的解集.
(二)类比方法
类比方法是指在不同对象之间,或者在事物与事物之间,根据它们某些方面(如特征,属性,关系)的相似之处进行比较.通过类比可以发现新旧知识的相同点和不同点,有助于利用已有知识去认识新知识和加深理解新知识.
如学习一元一次不等式,应将其与一元一次方程,一次函数等有关问题进行类比,以达到深化思维,提高能力的目的.
知识点:一元一次不等式与一元一次不等式组
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7880;意问题好题错题
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四重五步学习法——让孩子终生受益的好方法
1让更多的孩子得到更好的教育400-661-6666
经典例题——自主学习
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总结规律和方法——强化所学
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知识考点梳理
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(B)
知识框图
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(A)
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(A)
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