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数学建模案例选讲
课程论文
零件的参数设计
姓名学号学院班级王丽丽2220061234信息科学与工程学院自动化2006(12220061234信息科学与工程学院自动化2006(12220061234信息科学与工程学院自动化2006(12016年月24日
摘 要
1.问题重述
一件产品由若干零件组装而成,标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数.零件参数包括标定值和容差两部分.进行成批生产时,标定值表示一批零件该参数的平均值,容差则给出了参数偏离标定值的容许范围.若将零件参数视为随机变量,则标定值代表期望值,在生产部门无特殊要求时,容差通常规定为均方差的3倍.
进行零件参数设计,就是要确定其标定值和容差.这时要考虑两个方面因素:一是当各零件组装成产品时,如果产品参数偏离预先设定的目标值,就会造成质量损失,偏离越大,损失越大,二是零件容差的大小决定了其制造成本,容差设计得越小,成本越高.
试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法.
粒子分离器某参数(记作y)由7个零件的参数(记作x1,x2,等,x7)决定,经验公式为
y的目标值(记作y0)为1.50.当y偏离y0(0.1时,产品为次品,质量损失为1000元,当y偏离y0(0.3时,产品为废品,质量损失为9000元.
零件参数的标定值有一定的容许变化范围,容差分为A,B,C三个等级,用与标定值的相对值表示,A等为(1%,B等为(5%,C等为(10%.7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如表1(符号/表示无此等级零件)所示.
现成批生产,每批产量1000个.在原设计中,7个零件参数的标定值为:x1等于0.1,x2等于0.3,x3等于0.1,x4等于0.1,x5等于1.5,x6等于16,x7等于0.75,容差均取最便宜的等级.
请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本,重新设计零件参数(包括标定值和容差),并与原设计比较,总费用降低了多少.
表1各零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本
标定值容许范围C等B等A等x1[0.075,0.125]/25/x2[0.225,0.375]2050/x3[0.075,0.125]2050200x4[0.075,0.125]50100500x5[1.125,1.875]50//x6[12,20]1025100x7[0.5625,0.935]/251002.基本假设与符号约定
为了简化问题和方便讨论,除问题中给出的假设外,我们进一步做如下的假设和说明:
(1)零件在加工制造过程中存在多种随机因素.由于每个零件的参数xi(i等于1,等,7)是由大量相互独立的随机因素综合影响形成的每一个个别因素在总的影响中作用都很微小(2)假设组成产品(粒子分离器)的7个零件在生产过程中互不影响,而且这些零件可以无困难地组装成一件产品.因此,7个零件的参数可视作相互独立的正态随机变量.
(3)由于产品(粒子分离器)的参数是由7个零件的参数确定的,因此产品的参数也是随机变量,记为Y,它的取值记为y.
(4)假设问题中的经验公式无系统偏差,在给定的零件参数变化范围内均是有效的.
(5)假设生产过程中没有工艺失误造成的产品损坏,产品的等级(正品,次品,废品)仅与产品的参数偏离其目标值的程度有关.
在此,我们也约定文中所用符号如下:
xi0第i个零件参数xi的标定值,i等于1,等,7,令x0等于(x10,x20,等,x70)T(i第i个零件参数xi的均方差,i等于1,等,7ti第i个零件参数xi的容差,i等于1,等,7ri第i个零件参数xi的相对容差(容差关于标定值xi0的相对值,i等于1,等,7)ai,bi第i个零件参数xi标定值取值的下界和上界,i等于1,等,7y0产品(粒子分离器)参数的目标值(y产品(粒子分离器)参数的数学期望(y产品(粒子分离器)参数的均方差ty产品(粒子分离器)参数的容差ry产品(粒子分离器)参数的相对容差(容差关于目标值y0的相对值)Y描述产品(粒子分离器)参数的随机变量,取值为ydij第i个零件参数xi采用的容差等级,i等于1,等,7,j等于1,2,3(分别对应A,B,C三个等级),如d12表示等,7,j等于1,2,3Ci(ri)第i个零件的成本C(d)每件产品的总成本L(Y)质量损失函数f(x1,x2,等,x7)由7个零件参数表示的产品参数的经验公式,也记为f(x)3.问题的分析与模型的建立
3.1问题的分析
显然,给定的问题是一个优化问题,目标函数为产品的总费用.分析题意可知,产品的总费用由两部分组成,一部分是零件的成本,一部分是产品的参数y偏离其目标值.1)由于零件的成本只与容差有关,记第i个零件的成本为Ci(ti),其中ti为第i个零件参数xi的容差(i等于1,等,7),则每件产品的总成本为C1(t1)+等+C7(t7).
根据题,容差不连续值,而是分为三个等级A,B,C我们分别用1,2,3表示这三个等级dij:
,i等于1,等,7,j等于1,2,3(1)
则dij表示(i等于1,等,7)及d11等于d13等于d21等于d51等于d52等于d73等于0(2)
再令cij表示等,7,j等于1,2,3),于是每件产品的总成本是零件容差等级的函数,为
(3)
其中d等于(dij0)3(7是满足(2)式的一组取值.
事实上,容差等级共有1(2(3(3(1(3(2等于108种组合,故d的所有可能取值共有108个.
(2)由假设(3),产品的参数也是随机变量,记为Y.令产品的质量损失函数为L(Y),则
(4)
其中y0等于1.5.由于Y是随机变量,因此大批量生产时平均每件产品的损失费用应是损失函数L(Y)的数学期望E[L(Y)].如果分别用p1,p2,p3表示产品为正品,次品,废品的概率,即
p1等于P{|Y(y0|<,0.1},p2等于P{0.1<,|Y(y0|<,0.3},p3等于P{|Y(y0|>,0.3}(5)
则
E[L(Y)]等于1000p2+9000p3(6)
于是,生产一批1000件产品的总费用为
Z等于1000[C(d)+E[L(Y)]]等于1000[C(d)+1000p2+9000p3](7)
然而,E[L(Y)]等于1000p2+9000p3,其中涉及了产品的次品率和废品率(随机变量Y的概率).为此,我们必须讨论Y的分布,确定其分布形式和概率密度函数.
附录:
1.经验公式的偏导数
题目中给出的经验公式y等于f(x),x等于(x1,x2,等,x7)T,主要为乘积和幂的形式,根据微积分知识,先对f(x)取对数然后再求其偏导.
对f(x)取对数有
并令,,,于是
,
,
,,(F1)
再由
即可求得(f(x)/(xi,i等于1,等,7.
2.正态分布随机变量
参加参考文献[1].