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;方程转变为目标函数,其他的方程作为约束条件.这样就可以建立一个多目标的优化数学模型.比如:由于标靶的边在还原时可能不会等于100,我们将他们改为与100的差的平方最小,从而,这些方程就转变为目标函数,其他方程仍为约束条件.
目标函数:
约束条件:
上面的其余方程均为约束条件方程.
通过求解上述的优化问题,我们可以求出标靶圆的圆心坐标.进一步的具体做法在后面讨论.
对于上面的模型,即物面上的坐标与像面上的坐标得近似对应关系,也就是用给定的物面上的坐标,就可对应的求得像面上的坐标,已知像面上的坐标,也可对应的求得物面坐标.
3.2确定像平面上各椭圆的中心坐标
这是一张分辨率为1024*768的375*281的真彩24的图片,如果我们把像片看作二维矩阵,由于他们的点的相对是已知的,所以不难求出各点的坐标.
1,我们在椭圆边缘上随机选取三个点,要求有一定距离并且不共线,在每个点处拟合切线.选取其中两个点,设他们切线的交点为A,两点连线的中点为B,则直线AB过椭圆中心.利用另外一点再求出这样一条直线,两条直线的交点就是椭圆的中心.如下图椭圆O的中心为O点,直线AD,DE,CE与椭圆O相切,切点分别为A,B,C,AB中点为F,BC的中点为G,则DF与CG相交于O点.
2,由于相机拍摄的RGB图形,通过用C语言对图形的读取,处理,得到0-1矩阵(0表示的是黑色区域,即是椭圆形的像,程序见附录1),分别用三条两两互不平行的直线在0-1矩阵内部移动,记录每条直线第一次接触0的点(切点)的位置,选取其中任意两个切点,取出两个切点的中点,则两个切点对应直线的交点和中点的连线经过椭圆的中心,利用另外一点再求出这样一条直线,两条直线的交点就是椭圆的中心.
图4
但是在本题中给出的像的图片的像素是375×281,而实际题目中给出的像素是1024×768,所以Y,Z轴的每一个元素都应乘以2.73倍,经过上述方法的计算,求得像坐标如下表:
XYZA-1577198187B-157719089C-1577174-127D-1577-116223E-1577-116-78
3.3优化模型的求解(靶标圆心坐标的还原)
有了五点像的中心坐标,从理论上,用上述的优化模型求出五个标靶圆的圆心坐标是可行的,但是,约束条件方程是等式方程,像坐标存在误差,使得该模型的优化变成不可行.
另一方面,我们所建立的优化模型是一个二次的多目标优化模型,需要较大的求解时间.基于这二点的原因,我们必须先对上述的多目标优化进行改进,才能解决求解问题.
把多目标转成单目标处理
原多目标函数都是求最小化,所以,可以将他们求和处理,即将几个多目标的函数取和求最小化.这样多目标问题就转变为单目标问题.
等式方程太多,容易使得方程不相容,仍然无法求解.因此,必须对约束条件的若干个方程进行适当处理,才能顺利的进行求解.
先用优化方法还原出四点,即先不考虑点.这样等式约束条件方程将减少几个,可以降低由于误差所引起的不相容性,使得求解能继续下去.
从像上观察可看出:点的像失真较其他的小,我们认为,是可以成立的,而其他三个正交性的约束条件方程很可能不会成立,我们把这三个正交性的约束方程转成目标函数,只要求它们尽可能的正交即可.
经过(1),(2)步骤处理后的优化模型如下:
(4)经过(3)的优化模型和LINGO8编程后,可求出的坐标.
点坐标可以利用共线,求出.
标靶上的坐标如下表:(程序见附录2)
XYZA1296.466-59.1919-55.9034B1286.514-56.5746-27.8372C1263.294-50.467737.65049D1357.259-37.008369.71338E1389.154-37.878-25.5456目标优化值为:0.4033467
3.4模型的精度分析
有了标靶的五点坐标,就可以通过分析这五点是否共面,来确定模型的计算精度.
一般的,这五点是不会共面的,因此,我们先取三点做一个平面,定义余下二点到平面的距离和,用的大小作为五点共面度,越接近与零,它们的共面程度越高,反之,共面程度越差.
1,下面是计算共面度的过程:
取三点,作一个平面,法向量
法向量的单位向量,则到该平面的距离为
(),的值是比较小的,所以共面程度比较高.
2,还原B点的像坐标拟合
返回去计算其像的像素坐标,,得到
,而已知第二问中的点像素坐标为(-1577,69,32),两个坐标非常接近,模型较好.
3.5两个相机距离间隔的标定的数学模型
每个相机对标靶都有一张照片,每张照片应用上述优化方法可以确定一组标靶圆的圆心坐标.形成两组五对坐标组,不妨记为:
这两组表示同样的对应点,只是它们相对于坐标系不同.
要标定两个相机的相对位置(间距,方向),可以设变换
,
其中:A表示3*3坐标旋转矩阵,表示一个相机在另一个相机的坐标系中的坐标.
将两组坐标代入变换中,可以得到15个方程的线性方程组,其中只有12个未知变量(A中有9个,加上).这个方程组是线性的,方程个数比未知个数多,由于坐标在计算上存在误差,可能导致这些方程存在不相容的情况.为了能够计算未知变量,可以利用MATHLAB的最小二乘法求解.可以求出中的9个变量,以及的值.
令,,即表示两个相机的间距.
令:
则
等于
同样用最小二乘法从矩阵中可以求出两个相机的在三个方向上的相互交角.
四、模型评价与改进
本题我们通过建立一个多目标优化模型来确定靶标上圆的中心与其像的中心的对应关系,其中利用简单的几何关系组成了优化模型的约束条件,使原本复杂的物理模型更易于理解,推广.
文中在求解一个实际问题时,将多目标优化模型改进为单目标优化模型,使程序运行时间缩短,增强了模型的可行性.为了分析结果的精确性,我们先用三点确定一个平面,再用第四个点与平面的距离来定义其精确度.这样模型的优劣就有了一个好的评判标准.文中求得的结果的精确度较高,说明此模型较好.
模型为了简化,没有考虑数码相机自身参数的影响,如镜头畸变,这样结果的准确性欠佳,在物体识别应用系统中和视觉精密测量中(物体特征的相对位置必须要精确计算),此模型的结果就不十分适用.
在此模型中,我们没有得到靶标上圆的中心与其像的中心的对应关系的确定式子,如果题目给出一些数码相机的自身参数,我们可以通过建立非线性模型来求解,这样可以使数码相机的定位精度更高,增大它的适用范围.
五、参考文献
《摄像机的标定》china-vision./blog/userl/98/index.
i3721.
六、附录
附录一:
#include<,stdio.h>,
#include<,stdlib.h>,
#include<,math.h>,
#include<,string.h>,
main()
{
FILE*fp,*fp1,
chars[1],s1[1],b[1024],
intx,a[8],kk,
longinti,j,k,len,bmp_offset,
longwidth,height,llq等于-1,
fp等于fopen("tu2.bmp","rb"),
fp1等于fopen("tu1.txt","w"),
fseek(fp,10L,SEEK_SET),
fread(b,4,1,fp),
bmp_offset等于b[3]*256*256*256+b[2]*256*256+b[1]*256+b[0],
fseek(fp,18L,SEEK_SET),
fread(b,4,1,fp),
width等于b[3]*256*256*256+b[2]*256*256+b[1]*256+b[0],
fread(b,4,1,fp),
height等于b[3]*256*256*256+b[2]*256*256+b[1]*256+b[0],
fseek(fp,bmp_offset,SEEK_SET),
len等于(width+31)/8,
len等于len/4*4,
s1[0]等于13,
for(i等于height-1,i>,等于0,i--)
{
fseek(fp,bmp_offset+i*len,SEEK_SET),
fread(b,len,1,fp),
llq等于-1,
for(j等于0,j<,len,j++){
for(k等于0,k<,8,k++){a[7-k]等于b[j]%2,b[j]等于b[j]/2,}
for(kk等于0,kk<,8,kk++)
{llq++,
if(llq>,等于width){fwrite(s1,1,1,fp1),break,}
s[0]等于a[kk]+48,
fwrite(s,1,1,fp1),
}
}
}
fclose(fp),
}
附录二:
！求A,C,D,E的坐标的LINGO程序,
model:
！五个像点的坐标,
A1y等于72/3.78,
A1z等于68/3.78,
B1y等于69/3.78,
B1z等于32/3.78,
C1y等于63/3.78,
C1z等于-47/3.78,
D1y等于-43/3.78,
D1z等于81/3.78,
E1y等于-43/3.78,
E1z等于-29/3.78,
v等于-1577/3.78,
init:
ax等于1200,cx等于1000,
endinit
！以四条边的长度尽量接近100为目标,含义是尽量保持标靶不边形,
min等于(((ax-Cx)^2+(ay-Cy)^2+(az-Cz)^2)^0.5-100)^2+
(((cx-dx)^2+(cy-dy)^2+(cz-dz)^2)^0.5-100)^2+
(((ex-dx)^2+(ey-dy)^2+(ez-dz)^2)^0.5-100)^2+
(((ex-ax)^2+(ey-ay)^2+(ez-az)^2)^0.5-100)^2,
！点A与像A的对应关系,
Ax^2*(A1y^2+A1z^2)等于v^2*(Ay^2+Az^2),
Az^2*(A1y^2+v^2)等于A1z^2
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2;(Ay^2+Ax^2),！点C与像C的对应关系,
Cx^2*(C1y^2+C1z^2)等于v^2*(Cy^2+Cz^2),
Cz^2*(C1y^2+v^2)等于C1z^2*(Cy^2+Cx^2),
！点D与像D的对应关系,
dx^2*(d1y^2+d1z^2)等于v^2*(dy^2+dz^2),
dz^2*(d1y^2+v^2)等于d1z^2*(dy^2+dx^2),
！点E与像E的对应关系,
ex^2*(e1y^2+e1z^2)-v^2*(ey^2+ez^2)等于0,
ez^2*(e1y^2+v^2)-e1z^2*(ey^2+ex^2)等于0,
！边互相垂直,
！((Cx-ax)*(dx-cx)+(Cy-ay)*(dy-cy)+(Cz-az)*(dz-cz))等于0,
((Cx-ax)*(ax-ex)+(Cy-ay)*(ay-ey)+(Cz-az)*(az-ez))等于0,
！((ex-dx)*(ax-ex)+(ey-dy)*(ay-ey)+(ez-dz)*(az-ez))等于0,
((ex-dx)*(cx-dx)+(ey-dy)*(cy-dy)+(ez-dz)*(cz-dz))等于0,
！@free(Ax),@free(Ay),@free(Az),！@free(Bx),@free(By),@free(Bz),！@free(Cx),@free(Cy),@free(Cz),
@free(v),@free(C1z),@free(dy),@free(dz),@free(ey),@free(ez),@free(D1y),@free(E1y),@free(D1z),
@free(e1z),
end