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1.2数学是广泛关联的

日本数学家米山国藏在名着《数学的精神,思想和方法》中关于"数学的第一特征"有一段论述:"数学是由简单明了的事项与逻辑推理的结合而一步一步地构成的,所以,只有学习数学的人注意老老实实地一步一步去理解,并同时记住其要点,以备以后之需用,就一定能理解其全部内容."米山的论述是深刻的,他启发我们要将数学知识关联起来学习,其实,根据我们对初中数学教与学的实践和反思,数学的关联还可以有另外两种视角,这就是数学与生活之间的关联,数学与其他学科之间的关联.下面分开做些解读.

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首先,数学知识或方法之间具有广泛的关联.除了我们前面说过的数学会如藤蔓一样生长的关联以外,不少数学习题具有多样化的求解路径,一题多解成为解数学题的一个重要特点.下面这道习题解法的"殊途同归"正体现了数学方法之间的关联.请看教学故事:

教学故事1:

殊途何以同归

--一次求k值问题的思考

这是一次习题讲评课上有一道求k值问题,不少学生从不同的角度给出了解答,但在我的追问下,却知道了这些解法为什么能"殊途同归",先看例题:

例若方程组的解x,y满足x+y等于-5,求k的值.

生1:①×5,得15x+10y等于10k.

②×3,得15x+12y等于4k+9.

她还没有做完,我就问:"谁有不同的解法"生2,生3示意有不同的解法.

生2:解:②-①,得

2x+2y等于-k+3

2(x+y)等于-k+3

-10等于-k+3

k等于13.

(生2做出结果时,生1还没做好)

生3:将变形为

∵x+y等于-5,

解得k等于13.

我又追问几个学生,是否知道生3所写""中的10,20从哪儿来好多同学都目瞪口呆.

问到科代表时,她正好想通,说:"生3好像是整体代入!"

接着她把进一步变形为

至此,大家都理解了生3的解法.

最后,我又问大家:"为什么这道含待定系数问题会有这么多的解法,而且不同的解法解题速度差异如此之大"

没有人能回答上来.我提示:大家发现吗把x+y等于-5与前面的方程组联立起来是

这是一个什么方程组呢

到此,很多学生都发现了:噢!原来是一个三元一次方程组,三元一次方程组的消元策略确实很多.


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说明:这道待定系数法问题解法的多样性,在本质上是三元一次方程组消元策略的多样所致."数学是广泛联系的,此段解题教学故事看来也是一例.

其次,数学与生活之间的关联.众所周知,数学来源于生活,服务于生活.数学学习时我们总是喜欢从一个生活情境引入,就是基于数学

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与生活之间的关联视角.比如四边形新课学习时,常常用如下的一组生活图片引入新课:

图1.2.1:高压线塔图1.2.2:学校大门图1.2.3:某仓库大门背面

这组图片分别体现了三角形的稳定性(图1.2.1),四边形不稳定性(图1.2.2),而图1.2.3中由于四边形的不稳定性,太大了容易变形,通过添加一根斜着的木条转化利用三角形的稳定性来防止大门变形.从另一个关联角度看,图1.2.3中是四边形向三角形转化的典型策略,体现了"你中有我,我中有你"的思辨意境,而这也是四边形问题求解时一个重要的转化方向.

还有,数学与其他学科之间的关联.数学是其他科学的基础,不仅提供了大量的工具,更重要的提供了研究方法,思维方式,学习时注重与其他学科之间关联也是很重要的.比如,在一次七年级活动课的最后我曾即兴点评,体现了数学与其他学科之间的关联,请看:

教学故事2:

一副三角尺可画哪些特殊角

(这是一次数学活动课上,"用一副三角尺可画哪些特殊角"的活动片断)

生4:将三角板拼成下图(如图1.2.4),得到两个特殊角度75°,15°.

图1.2.4

生5:等

生6:等

不到一分钟,同学们众说纷纷,报出了很多特殊角度.

师:请认真思考这个问题,尽可能的弄全所有可能用一幅三角尺画出的特殊角度.

生7:我画出如下一些角度(按由小到排列):

15°,60°,75°,105°,120°,135°,165°①

生5:我比他多,画出了下面这些:

15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,165°②

师:很好,这组角度值好像有规律

(学生独立思考30秒后)

生8:都是15°的倍数.

师:猜想有意义!想一想,在平角180°以内15的倍数只有你画的这些角度吗(见②)

生9:按由小到大排列后,还漏掉一个150°!这个度数能画出来吗我看看前面有个60°和90°,再一组合就行了!


本篇论文来源:http://www.thtc.cn/xie/07014396.html

这样终于排出如下一组:

15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,°,165°③

它们的规律:都是15°的倍数.

师:很好!首先要指出的是,在角度数组③的画图可能有不同的组合方式,并不惟一.更重要的是,从上面的活动中发现,数学的探究与发现并不是一帆风顺的,实验,直觉,归纳,验证往往需要互补,哪一个环节都不可缺少,这样才会提升自己的数学素养,科学素养.事实上,很多科学上重要的发现与发明,都有类似的经历.举两个方向的例子,其一,作为数学中地位独特的"数论"来说,费尔马大定理,孪生素数问题,歌德巴赫猜想,圆内整点问题,完全数问题等等问题都是数学家们靠着非凡的直觉先有猜想再行验证,证明(有些证明历经几百年),其二,同学们在九年级将要学到"元素周期表",俄国科学家门捷列夫在1869年提出来的,后来更多的科学家正是用此表来寻找新型元素及化合物.

【原创练习】

1.已知x,y满足方程组

(1)将两方程相减直接得x-y等于,

(2)求代数式的值.

.如图,将一副三角尺按不同位置摆放:

①②

③④

(1)其中∠α与∠β一定相等的摆放方式有()

A.1种B.2种C.3种D.4种

(2)你发现上述摆放方式中的∠α与∠β还有怎样的数量关系

.【倾听理解】

例解关于x,y的方程组(m为常数)

老师先安排同学到黑板上求解出该方程组的解为

师:我们将问题变式如下:

变式题:关于x,y的方程组(m为常数),试分析x,y的关系.

【参与解题】

请结合课堂情境,求解"变式题".

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