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摘 要 ：数学的公众形象从发展现代教育与科学的角度看是堪忧的.数学是一门基础学科,数学教育是基础教育.对于现代化社会而言,数学素质应该是公民所必须具备的一种基础素质.本文通过在各个层面上论述数学在人类文化中的应用,对它的本质和应用作了精要的分析,试图使人们树立起正确的数学价值观.
关 键 词 ：数学教育；数学素质；数学文化
中图分类号：G633.6
文献标识码：A
今天,数学科学的迅猛发展,比以往任何时候都更牢固地确立了它作为整个科学技术的基础的地位,数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,并越来越直接或间接地为人类物质生产与日常生活做出贡献.数学是研究数与形的科学,它来源于生产,服务于生活.在古代埃及、尼罗河定期泛滥,重新丈量土地的需要发展了几何学；在古代中国,发达的农业生产及天文观测的需要,也促进了数学的发展.数学并不是一棵傲然孤立的大树,数学与社会文化始终是密切相关的,它是在人类的物质需求和精神生活影响下生长起来的,同时它也以自己独特的魅力对人类文化的不同领域产生深远影响.数学作为一种文化,已成为人类文明进步的标志.下面让我从更多的实例、更多的方面来谈谈数学文化价值.
一、数学为人类提供精密思维的模式
数学是基础学科,是关于数量关系和空间形式的科学,即关于数与形的学问,而数与形可以说无所不在,这就是为什么数学正空前广泛地向几乎一切人类知识和活动领域渗透.除了数学知识的直接广泛的应用,数学对于人类社会还有一个重要的文化功能,就是培养发展人的思维能力特别是精密思维能力.
一个人不管将来从事何种职业,思维能力都可说是无形的财富,而这种能力的培养又不是一朝一夕之功,必须在长期的磨练之中.数学,正像人们常说的那样,是训练思维的体操.那么什么是数学思维或精密思维呢数学思维包括很多方面.数学思维最基本的两大方面是“证”和“算”.“证”就是逻辑推理与演绎证明；“算”就是算法构造与计算,两者对人类精密思维的发展都不可缺.对“算”大家可能比较容易感受.在生活或工作中遇到问题常常会说需要“算一算”,数学家则更是追求解决问题的一般模式或者说一般算法.从简单的三角形面积算法到描述各种自然和社会现象的复杂方程解算,定量化的方法已经渗透到各行各业.而对“证”从几条不言自明的公理出发,通过逻辑的链条,推导出成百上千条定理.这种演绎论证的思维模式是古希腊欧几里得的《几何原本》首先开创树立的.《几何原本》依据柏拉图哲学、亚里士多德的逻辑学和欧几里得的精心构思,所表现出的已不仅是一种认识数学命题的真理特征,更为重要的是它借助数学表现了一种认识世界、表述世界的独特文化意义,并由此给人们提供一种思维的逻辑方式：从几个简单的原理出发,可以逻辑演绎出整个理论体系,进而表现这个理论所揭示的真理.一种数学方法能最终演化成为一种认识世界的逻辑思维方式,这不能不说是数学所能达到的最高的文化意义.其影响所及远远超出了数学乃至科学的领域,对人类社会的进步和发展有不可估量的作用.
二、数学是其它科学的工具和语言
德国大数学家,号称“数学王子”的高斯有句名言“数学是科学的皇后,数学也是科学的女仆”.前一句突出数学是精密思维的典范,后一句则强调数学为其它科学服务,是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用.在传统分类中语言学属人文科学.但由于它的研究对象的特殊性,近年来它越来越向自然科学靠拢.因为它是一个内部规则严整的系统,所以应用数学便是自然的了.用数学方法研究语言现象,给语言以定量化与形式化的描述称为数理语言学.它既研究自然语言,也研究人工语言.例如计算机语言.数理语言学包含三个主要分支：统计语言学；代数语言学；算法语言学.统计语言学用统计方法处理语言资料,衡量各种语言的相关程度,比较作者的文体风格,确定不同时期的语言发展特征.代数语言学是借助数学和逻辑方法提出精确的数学模型,并把语言改造为现代科学的演绎系统,以便适用于计算机处理.算法语言学是借助图论的方法研究语言的各种层次,挖掘语言的潜在本质解决语言学中的难题.
三、数学是推动生产发展,
影响人类物质生活方式的杠杆
数学从它萌芽之日起,就表现出与人类物质生产活动的紧密联系.
(一)数学与金融
华尔街的两次数学革命是指1952年马科维茨的证券组合选择理论和1973年布莱克――肖尔斯的期权定价理论.
马科维茨所解决的是如何给出最优的证券组合问题.即：对于每种证券,他用根据历史数据所计算的证券的隔天价格差的平均值来衡量证券的风险.而一组证券的收益率和风险也同样可根据历史数据来估计.把证券间的搭配比例(可正可负,表示有的是买入,有的是卖出)作为变量,就可提出一个在怎样的搭配比例下,对于固定的收益率使其风险最小的问题.马科维茨由此提出一个所谓有效证券组合前沿的概念.尽管马科维茨的研究在今天已被认为是金融经济学理论前驱工作,而获得1990年的诺贝尔经济学奖,但在当年他刚提出他的理论时,计算机才问世不久,从而使他的理论成为纸上谈兵,根本无法实际计算.今天的计算技术自然早已使马科维茨的思想得到完全的实现.
布莱克和肖尔斯讨论的则是如何为期权定价,期权是一种衍生证券,期权既然也是一种可交易的证券,它就也有自己的价格.于是就要问它的价格是如何确定的.布莱克和肖尔斯在假设股票价格的相对变动为不可预测的所谓布朗运动的条件下,竟然导出了一个与实际非常吻和的期权定价公式.金融经济学界经过几年的讨论,终于承认这是一项极为重要的研究,在数学中由于他们在公式推导中用到了随机分析、偏微分方程等现代数学工具,这促使许多数学家投身到衍生证券的研究中来,并且逐渐形成一个新学科――金融数学.
在金融经济学中,他们实际上提出了一种比马科维茨更进一步的思想.马科维茨只是认为不同的证券经过适当的组合可以减少风险,而布莱克和肖尔斯则认为,如果随时间不断改变这种组合,那么在一定条件下,几种证券的组合可以用来模拟另一种证券.就像股票与期权的适当组合能相当于债券一样,股票与债券的适当组合自然也可模拟期权.这种根据各种不同需要,把风险打散、重组,并形成各种金融产品的技术就是所谓金融工程.在今天的金融市场中,它已经处于举足轻重的地位.
(二)数学与生命科学
DNA是分子生物学的重要研究对象,是遗传信息的携带者,它具有一种特别的立体结构――双螺旋结构,双螺旋结构在细胞核中呈扭曲、绞拧、打结和圈套等形状,这正好是数学中纽结理论研究的对象.
x射线计算机层析摄影仪――即cT扫描仪,它 的问世是二十世纪医学中的奇迹,其原理是基于不同的x射线衰减系数.如果能够确定人体的衰减系数的分布,就能重建其断层或三维图像.但通过x射线透视时,只能测量到人体的直线上的x射线衰减系数的平均值.当直线变化时,此平均值也随之变化,能否通过此平均值以求出整个衰减系数的分布人们利用数学中的拉东变换解决了此问题,拉东变换已成为cT理论的核心.首创CT理论的AMConnark(美)及第一台CT制作者cNHounidd(英)因而获得了1979年诺贝尔医学和生理学奖.由此可见.在此项技术中数学起了关键作用.
如今,一场由数学和计算科学驱动的革命正在生物学的领域发生.一系列突破性的研究正在重新定义以下领域：数学生态学、流行病学、遗传学、免疫学、神经生物学和生理学等等,尤为重要的是数学与生物学的交叉研究项目上.
古希腊著名的数学家毕达哥拉斯曾给后人留下这样一个观点：“万物皆数也”.如果它的观点是正确的作为大自然的杰作――生命,一定也是按照数学方式设计而成的.因此,数学不仅能够提升生命科学研究,使生命科学成为抽象的和定量的科学,而且是揭示生命奥秘的必由之路.
(三)数学与军事
一直到二十世纪,科学发展促使武器进步.数学才真的与战事有紧密的关系,例如数学的研究工作可能与空气动力学、流体动力学、弹道学、雷达与声纳、、与情报、空照地图、气象学、计算器等等有关,而直接或间接影响到武器或战术.
案例1：巴顿的战舰与浪高
军事边缘参数是军事信息的一个重要分支,它是以概率论、统计学和模拟试验为基础,通过对地形、气候、波浪、水文等自然情况和作战双方兵力兵器的测试计算,在一般人都认为无法克服、甚至容易处于劣势的险恶环境中,发现实际上可以通过计算运筹,利用各种自然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限,如通过计算山地的坡度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象,提供战争胜利的一种科学依据.
1942年10月,巴顿将军率领4万多美军,乘100艘战舰,直奔距美国4000公里的摩洛哥,计划在11月8日凌晨登陆.11月4日,海面上突然刮起西北大风,惊涛骇浪使舰艇倾斜达42~.直到11月6日天气仍无好转.华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没,电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆.巴顿回电：不管天气如何,我将按原计划行动.11月7日午夜,海面突然风平浪静,巴顿军团按计划登陆成功.事后人们说这是侥幸取胜.这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注.
其实,巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数,知道11月4日至7日该海域虽然有大风,但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系,恰恰达不到翻船的程度,不会对整个舰队造成危险.相反,11月8日却是一个有利于登陆的好天气.巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数,抓住“可怕的机会”,突然出现在敌人面前.
案例2：海湾战争――数学战
1990年伊拉克点燃了科威特的数百口油井,浓烟遮天蔽日,美国及其盟军在“沙漠风暴”以前,曾严肃地考虑点燃所有油井的后果.据美国《超级计算评论》杂志披露,五角大楼要求太平洋――塞拉研究公司研究此问题.该公司利用Nier―Stokes方程和有热损失能量方程作为计算模型,在进行一系列模拟计算后得出结论：大火的烟雾可能招致一场重大的污染事件,它将波及到波斯湾、伊朗南部、巴基斯坦和印度北部,但不会失去控制,不会造成全球性的气候变化,不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失.这样才促成美国下定决心.同时在这次战争中,美国将大批人员和物质调运到位,只用了短短一个月时间.这是由于他们运用了运筹学和优化技术.所以人们说第一次世界大战是化学战(),第二次是物理战(),海湾战争是数学战.
案例3：不可思议的美伊战争
美伊战争给人没带来太多的震撼！从2003年3月20日正式爆发,到4月11日美军攻占巴格达.进攻者以区区十万余人的军队,在二十几天的时间里,几乎没经过像样的战斗就完全征服了一个世界中等军事强国.不少人觉得美伊战争不像一场战争,而更像一场游戏.
而事实上并不奇怪,美军打的是一场由数学支撑的信息化的战争.汤姆逊说：信息不仅仅是一件武器,它还是一种能够改变战争文化和定势的新技术.它能改变一切.它所带来的变化比我们看到的任何一种变化都来得强烈,比坦克、潜艇甚至都要厉害.在今天的战场上,谁拥有绝对的信息掌控权,谁就能获得胜利,美军在美伊战争中通过数据链把天空地海、本土统帅部、前方司令部和战场上每一个士兵连为一体,反应灵敏,随心所欲.以最短的时间、最小的代价、最快的速度、最大的战果,赢得胜利.所以说未来的战争实际上是高科技战争――数学战.
数学与人类文明的联系与应用是多方面、多层次的.计算机诞生后,数学与其它文化的联系更加深入和广泛,毫不夸张地说,信息时代就是数学时代.因此我们更应该重视数学,学好数学,更会应用数学.才能使我们跟上这个时代,使我们的生活充满活力.
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