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2012年高考全国新课卷卷理科第16题是：数列 满足 ,则 的前 项和为 .
粗粗一看此题,似曾相识,对于递推数列问题,我们平时总结了不少,好象是 或是 型问题,运用叠加法,即可解决.仔细一看,发现多了 ,于是没有现成的模式可套,怎么解?下面是笔者对此题解法进行探究的心路历程.
思路一：从特殊到一般.对于给出递推数列,没有更好方法之前,通常可以特值开路,写出前几项,进行归纳,再猜想一般的规律.
解法1：设a1等于a,由递推公式 ,分别令n等于1,2,3,4,等,则有
a2等于1+a,a3等于2—a,a4等于7—a,a5等于a,a6等于9+a,a7等于2—a,a8等于15—a,a9等于a,等,
于是可知,
所以 知每连续四项之和成等差数列.
则 .
思路二：分奇数与偶数进行讨论.本题的难点在于 ,于是可对其进行分类讨论,并进行适当的构造及并项.
解法2：当n为奇数时, ；当n为偶数时, ；
于是
等于[2（4k—1）—1]+2[2（4k—2）—1]—[2（4k—3）—1]等于16k—6.
则 .
思路三：利用迭代法.对于给出递推数列问题,应关注屡屡出现数列问题的三技巧——叠加、叠乘、叠代.特别是叠代法,它是直接反复利用递推公式而进行迭代,可以直接运用,从而使问题得以解决.
解法3：由 得,
,
即 ,
也有 ,
两式相加得 ,设 为整数,
则 ,
于是 .
思路四：分组求和法.由于 或是 型问题我们非常熟悉,不妨利用叠加法及并项法来解决,分别求出奇数项的和与偶数项的和,再相加.
解法4：由 ,
令n等于2k,则有 ；
令n等于2k—1,则有 ；
以上两式相减,得 .
于是有a1+a3+a5+a7+等+a57+a59
等于（a1+a3）+（a5+a7）+等+（a57+a59）等于15×2等于30. ①
又由 ,令n等于1,3,5,等,59,知
a2—a1等于1,
a4—a3等于5,
a6—a5等于9,
.
以上各式相加,得（a2+a4+a6+等+a60）—（a1+a3+a5+a7+等+a59）
等于1+5+9+等+117等于1770. ②
将①代入②,得a2+a4+a6+等+a60等于1800.
于是则 的前 项和为（a1+a3+a5+a7+等+a59）+（a2+a4+a6+等+a60）等于1800+30等于1830.
思路五：构造子数列.对于{an}即不是等差数列 ,也不是等比数列,但可发现其子数列{ }、{ }、{ }、{ }是等差数列,于是可数列{an}分项击破.
解法5：当n为奇数时, ；当n为偶数时, ；
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a2,故 ；
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a4,故 ；
同理, 等于0,故数列{ }是常数列,故 ；
等于0,故数列{ }是常数列,故 ；
又a1+a2+a3+a4等于（a4—a3）+2（a3+a2）—（a2—a1）等于5+6—1等于10.
于是 的前 项和为（a1+a5+a9+等+a57）+（a2+a6+a10+等+a58） +（a3+a7+a11+等+a59）+（a4+a8+a12+等+a60）等于15a1+（15 a2+840）+15a3+（15 a4+840）
等于15（a1+a2+a3+a4）+1680等于1830.
思路六：构造等差数列.
从以上的解法中,不难发现,本题的实质是连续四项的和构造等差数列,于是证明 ,则有数列{bn }是公差为16的等差数列即可.
解法6：当n为奇数时, ；当n为偶数时, ；
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a2,故 ；
故数列{ }是等差数列,公差为8,首项为a4,故 ；
同理, 等于0,故数列{ }是常数列,故 ；
等于0,故数列{ }是常数列,故 ；
则 ,又 ,则有数列{bn }是首项为10,公差为16的等差数列.
则 . （作者单位：浙江省泰顺中学） （325500）