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【摘 要 】近年来,涉及图形运动的几何问题经常出现在各类考试的压轴题中,常见的图形变化问题是通过变化图形的位置,引起图形的面积发生改变.本文结合近年广东各地中考数学卷,将此类问题分为动点型、动线型、图形平移型、图形折叠型等四种类型进行分析,总结此类问题的解题思路、解题技巧.
【关 键 词 】图形面积 运动变量
一、动点型
这类题考查学生数形结合、化归的数学思想.解这类题在于“动静结合”“动中求静”.解答的方法是观察由于点的运动,所求的几何图形与哪些图形存在关系,从而进一步求出图形面积与运动变量的函数关系式.
例1 （2012湛江）如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为（6,0）,点B的坐标为（0,8）.动点M从点O出发,沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒5/3个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒（t>0）,（1）当t等于3秒时,直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值；若不存在,请说明理由；（3）当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
【分析】△MNA中,过N作MA边上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM等于OA-OM,由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式,由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积.
二、动线型
此类题以平面直角坐标系为载体,要求直线平移过程中图形的面积.由于直线运动过程中所求的几何图形的形状和大小发生变化时,相应的时间分界点是确定的.于是图形由“动”变“静”,再设法分别求解.用分类的思想画图在解这类动态几何题时非常有效,它可以帮助我们理清思路,击破难点.解答此类题的方法是画出各个时刻的图形,根据图形形状确定时间分界点,从而分类讨论求解.
例2 （2012广东省）如图,抛物线
【分析】直线l∥BC,可得出△AED∽△ABC,它们的面积比等于相似比的平方,由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合,可确定m的取值范围.
三、图形平移型
此类题考查学生的空间想象力和动手操作能力,考查数形结合、分类讨论的数学思想.完成此类题,应先探索图形运动的特点和规律,作出几个符合条件的草图,然后根据重叠部分的不同形状来确定运动时间的变化范围,从而分类求出面积关于时间的函数关系式.
例3（2008年广东省）将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB等于8,BC等于AD等于4,AC与BD相交于点E,连结CD.（1）填空：如图1,AC等于 ,BD等于 ；四边形ABCD是 梯形；（2）请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）；（3）如图2,若以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图2的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF等于t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.
【分析】过P作出△FBP的高,△FBP面积应等于FB×PK÷2,易得FB等于AB-AF等于8-k；则KB等于FB的一半,利用30°的正切值可求得FK的值.注意用t表示的线段应大于0.
四、图形折叠型
此类题融合轴对称、相似等知识,着重考查学生的空间想象力和动手操作能力.在此类题中,动点运动的过程中,折叠前后的图形始终保持全等.解决此类问题,应先弄清楚图形的变化过程,作出符合条件的草图,并抓住图形在变化过程中不变的量,然后根据重叠部分的不同形状来确定运动变量的变化范围,从而分类求出面积关于运动变量的函数关系式.
总而言之,解决动态几何题时,用分类的思想画图,寻求运动中的特殊位置,在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律.我们在求图形面积与运动变量的函数关系式时,要注意结合图形特点,在变与不变的思考中,紧紧抓住不变的因素,确定运动变量的分界点,利用数形结合的数学思想分类解决问题.