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题目 如图1,直角墙边斜拉绳[AB]与水平地面成[45°],绳 [图1]上端[A]点到墙角地面距离为1m,[A]点正下方的[C]点到地面距离为0.8m. 现有一蜘蛛从[C]点以水平初速度[v0]弹出,不计空气阻力,取[g]等于10m/s2,要使蜘蛛能抓到斜拉绳,它弹出的水平初速度[v0]至少应为（ ）
A. 1m/s B. 2m/s
C. 2.5m/s D. [5m/s]
错解 蜘蛛从[C]点弹出做平抛运动,落地时间
[t等于2hg等于2×0.810]等于0.4s
[t]一定,初速度[v0]越小,水平位移[x]越小,最小射程即达[B]点
[v0等于xt等于10.4]等于2.5m/s.
错因 不知道物体做平抛运动的轨道由初速度决定. 初速度 [图2] 不同,轨道也不同. 如果[v0等于]2.5m/s,运动轨道与给定的斜拉绳[AB]直线将有两个交点,如图2,蜘蛛可以抓到[AB]绳,但这个初速度不是所求最小速度.
正解 方法一：利用运动分解 [图3]. 采取“斜正交分解”,将蜘蛛的平抛运动分解为沿[AB]直线斜向下的匀加速直线运动（初速不为零）和垂直[AB]向上的“类竖直上抛运动”,如图3. 在[y]方向上,蜘蛛做“类竖直上抛运动”,
初速度[v0y等于v0sin45°]
加速度[ay等于gcos45°]
蜘蛛能抓到斜拉绳的条件：上升的“最大高度”不得小于[H等于ACcos45°],即应有
[0-v20y等于-2ayH]
联立解得蜘蛛弹出的初速度至少为[v0等于]2m/s.
方法二：抓住蜘蛛刚好能够触及斜拉绳的特征条件,即运动轨道与斜拉绳相切,对应的初速度为最小. 同时,利用平抛运动的重要推论简化计算：
“ [图4] 物体在平抛（类平抛）运动过程中,若某时刻速度方向与水平方向的夹角为[α]、位移与水平方向夹角为[β],则有[tanα等于2tanβ],该时刻速度的反向沿长线过水平位移中点”,作出图4,则有
[x等于2AC等于0.4m等于v0ty等于h等于AC等于0.2m等于12gt2]
联立解得[v0等于]2m/s
方法三：先建立蜘蛛的初速度[v0]与到达绳上位置的关系,再利用重要不等式性质求解.
设蜘蛛到达斜拉绳位置与[C]点的高度差为[h],由于斜拉绳倾角为[45°],则水平位移为
[x等于h+0.2等于v0t]
又[h等于12gt2]
联立得[v20等于5h+2+0.2h]
由于[5h×0.2h等于1],积一定,则[5h等于0.2h],即[h等于]0.2m时,其和最小,[v0]最小,可得[v0等于]2m/s.
方法四：利用解析几何知识求解.
建立图5的平面坐标 [图5] 系[xOy],则斜拉绳[AB]的直线方程为：
[y等于x],斜率[kAB等于1]
蜘蛛运动满足：
[x等于v0ty等于0.2+12gt2]
得蜘蛛运动的轨道方程为[y等于0.2+5（xv0）2]
求导得,该轨道的切线方程[y等于10xv20]
设抛物线轨道上点[（x1,y1）]的切线与直线[AB]重合,即最小初速度对应的轨道刚好与斜拉绳相切,切线与斜拉绳直线[AB]的斜率相等,则有
[y1等于10x1v20等于1],[x1等于10v20]
代入[y1等于0.2+5（x1v0）2],得[y1]等于0.4m
又切点同时在直线[AB]上,[y1等于x1],故[x1]等于0.4m
得[v0等于]2m/s
答案 B
小结 本题属物理极值类问题. 物理极值问题的处理方法基本分两种：一是物理方法――关键是抓住“极值状态的特征条件”,故也被称条件极值法,如上述方法一和二；二是数学方法――先把物理问题转化为数学问题,再借助数学工具求解,如上述方法三和四.
拓展 如果蜘蛛弹出的初速度为[v0]等于1m/s（<2m/s）,它与斜拉绳[AB]的最近距离将为多少
方法一：物理方法
同理,采取“斜正交分解”, 在垂直[AB]斜向上的方向上：
初速度[v0等于v0sin45°]
加速度[ay等于gcos45°]
上升的“最大高度”为[H等于v02y2ay等于][240]m
故蜘蛛与斜拉绳直线[AB]相距最近为[d等于ACcos45°-H]等于[3240]m.
方法二：数学方法
由蜘蛛的运动规律：
[x等于v0ty等于0.2+12gt2]
得其轨道方程[y等于0.2+5（xv0）2等于0.2+5x2]
求导得,该轨道的切线方程：[y等于10x]
该轨道的切线与斜拉绳[AB]平行,斜率相等时,相距最近,即[10x1等于1,x1等于0.10m],代入轨道方程得[y1等于0.25m],亦即轨道上距离斜拉绳[AB]最近的点是（0.10m,0.25m）.
再利用点[P（x0,y0）]到直线[Ax+By+C等于0]的距离公式[d等于Ax0+By0+CA2+B2],得蜘蛛与斜拉绳直线[AB]相距最近为：
[d等于1×0.1+（-1）×0.25+012+（-1）2等于3240]m.
1. 如图6,在倾角为[θ]的斜面上,从[M]点以水平速度[v0]抛出小球,到达距离斜面最远的[G]点时 [图6]间为[t1],速度为[v1],相对[M]点沿斜面向下的位移为[s1]；落到斜面上[N]点总时间是[t2],速度为[v2], 相对[M]点沿斜面向下的位移为[s2]. 以下关系成立的是（ ）
A.[2t1等于t2] B.[v1t1等于s1]
C.[2v1等于v2] D.[v1t2等于s2]
2.在光滑水平面内,一质量为 [图7] [m]等于1kg的质点以[v0]等于10m/s沿[x]轴正向运动,经过原点后受到沿[y]轴正向的恒力[F]等于5N作用,直线[OA]与[x]轴成[37°]角,如图7. 求质点与直线[OA]相交前的最大距离. [图8]
3.长为[L]的细绳一端固定于[O]点,如图8,另一端栓一质量为[m]的小球,把线拉至最高点[A]以[v0等于12gL]水平初速度弹出,小球运动到最低点[B]时,绳中张力多大?
1. AD 2. 4.5m 3. [TB等于5716mg]