2023年高考江苏卷第19题的漂亮解答

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【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x2a2+y2b2 等于1（a>b>0）

的左、右焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）.已知（1,e）和（e,32 ）都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.

（i）若AF1-BF2等于62 ,求直线AF1的斜率；

（ii）求证：PF1+PF2是定值.

考点：椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式.

分析：

（1）利用点（1,e）和（e,32 ）都在椭圆上,易得椭圆的方程x22+y2等于1 .

（2）由（1）得F1（-1,0）,F2（1,0）,又∵AF1∥BF2,

∴设AF1、BF2的方程分别为my等于x+1,my等于x-1,A（x1,y1）,B（x2,y2）,y1>0,y2>0.∴x212+y21等于1,my1等于x1+1

（m2+2）y21-2my1-1等于0y1等于m+2m2+2m2+2

.

∴AF1等于（x1+1）2+（y1-0）2等于m2+1·m+2m2+2m2+2 等于2（m2+1）+mm2+1m2+1

.①

同理,BF2等于2（m2+1）-mm2+1m2+2 .②

（i）由①②得,AF1-BF2等于2mm2+1m2+2 .

解2mm2+1m2+2 等于62 得m2等于2.

∵m>0,∴m等于2.

∴直线AF1的斜率为1m等于22 .

（ⅱ）∵AF1∥BF2,

∴PBPF1等于BF2AF1 ,即PBPF1 +1等于BFAF1+1PB+PF1PF1 等于BF2+AF1AF1 .

∴PF1等于AF1AF1+BF2·BF1 .由点B在椭圆上知,BF1+BF2等于22,∴PF1等于AF1AF1+BF2（22-BF2） . 同理,PF2等于BF2AF1+BF2（22-

AF1） .

∴PF1+PF2等于AF1AF1+BF2 （22-BF2）+BF2AF1+BF2 （22-AF1）等于22-2AF1·BF2AF1+BF2 .

由①②得,AF1+BF2等于22（m2+1）m2+2 ,AF1·BF2等于m2+1m2+2 ,

∴PF1+PF2等于22-22 等于322

.∴PF1+PF2是定值.

以上解法计算量大,对运算的能力要求高,学生很难做对.

分析：如图1,考虑到椭圆的对称性,连接BO交椭圆于点C,连接CF1,则BF2与CF1关于点O成中心对称,BF2与CF1平行且相等.考虑到线段是经过椭圆的焦点,改用极坐标求解.

解：（1）易知椭圆的离心率e等于22 ,椭圆的方程是x22+y2等于1 .

（2）以F1为极点,F1O为极轴建立极坐标系.因为椭圆的离心率e等于22 ,焦点到准线的距离p等于1,所以椭圆的极坐标方程是ρ等于ep1-ecosθ 等于12-cosθ .

（i）由椭圆的对称性可知,BF2等于CF1,

BF2∥CF1,又AF1∥BF2故A,F1,C三点共线.设直线AF1的倾斜角为θ,则AF1-BF2等于12-cosθ-12+cosθ等于2cosθ2-cos2θ等于62,

解得cosθ等于63,sinθ等于33,故直线的斜率k等于tanθ等于22.

（ii）设AF1等于m,BF2等于CF1等于n,PF1等于x,PF2等于y,PA等于s,PB等于t,由AF1∥BF2得nm等于tx等于ys

,解得t等于nxm,s等于myn.由椭圆的定义得m+s+y等于22,n+t+x等于22,

解得x等于22m-mnm+n,y等于22n-mnm+n.又mm+n等于

（责任编辑 金 铃）