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摘 要 本文从日常数列试题中探讨数列求解方法,锻炼数学思维能力,解决一类问题
关 键 词 递差法 数列
数列这个概念虽然放在高中,但我们的学生其实早在小学阶段就有所接触,其目的是为了提高学生对数字的敏感性和观察力,到了初中阶段,虽然还未出现数列概念,但这方面的试题却屡见不鲜.我们认为对初中生加强这方面的训练,为他们进入高中阶段的数列学习打下良好的基础是必要的,为此我们常对学生进行一下几方面训练.
一、给你列数,其中缺少一项,要求你仔细观察这列数列的排列规律,然后从4各选项中选择你认为最合理的一项来填补空缺项,使之符合这一列数的规律
1. 2,3,5,9,17,（）
A、31 B、32 C、33 D、34
2.6,11,18,27,38,（）
A、67 B、66 C、65 D、51
3.1,3,6,12,27,（）
A、69 B、67 C、65 D、63
解析：其实这类题都是数列题,它们属于同一类型的试题,即：已知一个数列的前5项,求它的第6项an
我们试用递差法来解这三个小题
1.设an：2,3,5,9,17
bn：1,2,4,8
其中 bn-1等于an-an-1
易见,一阶差构成的数列{bn}是一个以2为公比的G、P（等差数列） ∴bn等于2n-1
b5等于16 于是a6等于a5+b5等于17+16等于33,选C
2.设an：6,11,18,27,38
bn ：5,7,9,11
易知一阶差数列{bn}是一个以2为公差的A、P（等差数列）∴bn等于2n+3,b5等于13
∴a6等于a5+b5等于38+13等于51,选D
3.设an：1,3,6,12,27
bn ：2,3,6,15
：1,3,9
二阶差数列{ }是一个以3为公比的G.P
∴等于3n-1, 等于27 ∴b5等于b4+等于15+27等于42
于是a6等于a5+b5等于27+42等于69,选A
事实上,数列{ }不一定是GP,也可以是等于2n2-4n+3,则等于19,于是,b5等于b4+等于34,无对应的选项,难道这不“合理”吗?
另外,若设等于a2n-1+bn+c,由c1等于1,c2等于3,c3等于9我们可得方程组：
于是又可以是等于42n-1-2n-1
则得等于23,由此可得：a6等于65.选C,请问A或C谁更“合理”.看来,已知一个数列的前5项,它的第6项a6不是唯一的.由此,我们怀疑此题的前2小题是否是正确的?
类似第一的数列题常常被一些杂志及数学参考书用来训练学生对数字的观察力,甚至被用来录音公务员的国家考试.作为一位中学数学教师,我们应该有清醒的认识,这类试题,用来训练初中及以下的学生对数字的敏感性及观察力是有一定好处的,但不能乐此不疲,沉湎于此,否则会使学生“只见树木不见森林”,陷入“以偏概念”的僵化境地.在应用此类题时我们应注意它的严谨性,选用试题应该有“度”.
于是我们就有第二类试题：
二、写出以下数列的一个通项公式,给初中生的试题可以这样叙述：
给你一数列的前5项,写出正整数n的一个关系式（解析式）,使之符合这一列数的规律：
从以上阶梯过程中,我们是否体会到：已知一个数列的前k（k为常数）项,它的通项公式不是唯一的,因而它的第k+1项ak+1也不是唯一的,而是无穷的,甚至可以是任意数.就以（二）中的（1）的解为例,已知它的一个通项公式为an等于2n-1+1,在它的后面加上：g（n）（（n-i）,其中g（n）为正整数n的任意一个函数.也就是说,若要使数列：2,3,5,9,17的第6项a6为除34以外的任意数,如：31,则由a6等于26-1+1+g（6）5!等于31,得g（6）等于-即可,若要使a6等于1,则只要令g（6）等于即可.
数列在数学中具有很高的研究价值,它充分的展现了数学教学指导思想,徐利治教授也曾指出：“数学教育与教学的目的之一,应当让学生们获得对数学美的审美能力,从而既有利于激发他们对数学的爱好,也有助于增长他们的发明创造能力.”
（作者单位：浙江金华江南中学）