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一题多解是开发学生思维、培养学生应用能力的一种很好的方法,它能使学生提高分析问题和解决问题的能力,掌握基本的解题方法和技巧,从解题中对学习数学产生兴趣,通过一题多解了解到数学也有有趣的地方,并不是枯燥无味的.中学数学教学中,适量运用一题多解对于拓宽学生视野是十分有效的.下面笔者就中学数学课本中的几个一题多解的题目谈谈自己的看法.


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一、几何计算中“一题多解”的运用

例1.如图1-1,直线,求已知∠A+∠F+∠C的值.

G

图1-1 图1-2

图1-3 图1-4

解:方法一,如图1-2,过F做F G∥AB,∴∠A+∠AFG等于180°,∵AB∥CD,∴FG∥CD(平行与同一条直线的两条直线平行),∴∠C+∠CFG等于180°(两条直线平行同旁内角互补),又∵∠CFG +∠AFG等于∠AFC, ∴∠A+∠AFC+∠C等于360°.

方法二,如图1-3,延长AF、DC相交于一点H,∵ AB∥CD,∴∠A+∠H等于180°(两条直线平行同旁内角互补),又∵∠AFC等于∠H+∠FCH(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠A+∠AFC+∠FCD等于∠A +∠H+∠FCH +∠FCD等于 180°+180°等于360°.

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方法三,如图1-4,延长BA、CF相交于一点K,∵ AB∥CD,∴∠C+∠K等于180°(两条直线平行同旁内角互补),又∵∠AFC等于∠K+∠FAK(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠BAF+∠AFC+∠C等于∠BAF +∠K+∠FAK +∠C等于 180°+180°等于360°.

析:本题所考察的知识点为两直线平行的判定与性质,在解题的过程中运用了三角形的外角和定理,从题目可以看到,直接无法求出三个角的和,只有通过做辅助线才能达到目的,在做辅助线的过程中,由于考虑的出发点不同,才有了不同辅助线的做法.

二、几何证明中“一题多解”的运用

例2.如图2-1所示在四边形ABCD中AB等于AD,CB等于CD.求证∠ABC等于∠ADC.

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图2-1 图2-2 图2-3

解:方法一,如图2-2,连接BD,在△ABD中,∵AB等于AD,∴(等边对等角).在△CBD中,∵CB等于CD,∴∠CBD等于∠CDB(等边对等角).又∵∠ABC等于∠ADB+∠CBD,∠ADC等于∠ADB+∠CDB,∴∠ABC等于∠ADC.

方法二,如图2-3,连接AC,在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(三边对应相等,两三角形全等)∴∠ABC等于∠ADC(两三角形全等,对应角相等).

析:本题所考察的知识点主要是三角形全等的判定和等腰三角形中的等边对等角,做此题的主要思路是:其一把要证明相等的两个角分解也就是连接BD,其二是直接求证这两个角相等,也就是连接BD.

例3.如图3-1,已知△ABC中,AB等于AC,DE分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线教育点F,若DE等于EF,求证:BD等于CF

图3-1 图3-2 图3-3

解:方法一,如图3-2,过D做DG∥AF,交BC与点G,∴∠DGB等于∠ACB,又∵∠ACB+∠ECF等于180°、∠DGB+∠EGD等于180°,∴∠ECF等于∠EGD,在△EDG和△EFC中, ∴△EDG≌△EFC(AAS),∴CF等于DG(两三角形全等,对应边相等),∴BD等于CF.

方法二,如图3-3,过F做FH∥AB,交BC的延长线与一点H,∴∠B等于∠H,∠BDE等于∠HFE(两直线平行内错角相等),在△BED和△HEF中,∴△BED≌△HEF(AAS),∴BD等于FH,(两三角形全等,对应边相等)又∵AB等于AC,∴∠B等于∠ACB,∴∠H等于∠B等于∠HCF∴FH等于FC(等角对等边)∴BD等于CF.

因此,由以上例题可知,在计算的过程中,一题多解在平时做题时会明显减慢我们做题的速度,别人做了几道,可能我们只能做一道,有时候连一道都做不完,但是一题多解在学习中有很多的好处,如通过一题多解训练了我们的思维能力,使我们能灵活掌握题目所考察的知识点,在竞技考试时能选择自己最擅长、最简洁的方法解决问题.所以运用一题多解对于我们正确学习方法的生成、思维能力的培养、人生观与价值观的培养都有好处.


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