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【摘 要 】本文阐述了数学开放题的含义及特点,探讨了数学开放题对培养学生创新能力的作用.
【关 键 词 】数学开放题；创新能力；发散思维
数学开放题始于70年代,由一个日本学者群体率先研究“开放式结尾（openended）问题”.这很快得到世界各国数学界的支持.1998年2月经我国教育研究小组批准“开放题——数学教学的新模式”立项为全国教学科学规划重点课题.1998年全国数学高考试卷中,首次出现了开放性问题.现在数学开放题已成为教改的热点,日益受到教育界的重视.
数学开放题调动了学生学习数学的积极性,激发学生的求知欲和进取精神,有利于培养发散思维和创造性能力.本文试从数学开放题提高学生的创新能力这一角度,对其教育价值作探讨.
一、数学开放题几个理论问题
1.数学开放题的含义
“数学开放题”并非是业经审定的规范数学名词,至今数学教育界并未形成公认的界定.通常的理解是指“条件”“解法”“结论”具有多样化和不确定性的问题.笔者认为,开放题是给学生解的,因此必须要考虑解题主体——人的主观能动作用.学生的生活经验和解题能力有很大的差别,他们在不同的阶段对同一问题的认识也不同,有些题对一些人是开放的,但对另一些人可能是封闭的.例如,对几个人两两握手共握多少次的问题,在学生学习组合知识之前解法很多,是一个开放题,在学习组合知识之后则是一个封闭题.
从现代心理学的研究来分析,一道题的开放性和封闭性
取决于这道题对解题主体激发的思维之性质.如果激发的思维是发散性的,就是开放题.因此,能激发发散思维且解决方向（思路）不唯一的数学问题是数学开放题.
2.数学开放题的分类
数学开放题的分类也有好几种,有按数学命题未知要素
划分的,有按题目解答要求划分的,有按答案划分的,有按学习过程的训练价值划分的.如果按未知要素分类,数学开放题可分为：
（1） 题设开放题
给定结论,没有给出条件或条件不完备,来反探满足结论
的条件,而结论的条件并不唯一.
（2）策略方法开放题
给出了条件和结论,但其解题策略和方法不明确,需根据
条件找到不同的解决策略,从而寻找最优解.
（3）结论开放题
给出条件,结论是未知的或不确定的,需在给定条件下
探讨出结论.
（4）综合开放题
只给出一定的问题情景,其条件、解题策略和结论均
需解题者在情景中去设定和寻找.
3.数学开放题的特点
下面通过分析一道典型的数学开放题来认识数学开
放题的特点.
例如：在一块矩形地上欲开辟出一部分作为花坛,要使花坛
的面积为矩形面积的一半,请给出你的设计方案.
这道题的条件是“一块矩形地块”,结论是“使花坛的面积为矩形面积的一半”.而设计方案与理论依据不确定,因人而异,从而使得具体的结果不确切（结果是“面积”为矩形面积的一半的花坛,而题目对“花坛”没有形状方面的规定）,这就需要解题者打破原有的思维模式,展开联想和想象的翅膀,从多角度、多方面寻找答案即进行发散思维.
以上题为例,我们可归纳出数学开放题的以下特征.
（1）非完备性.
在开放题中,要么条件不充足,要么结论省去,要么解题方法和依据不明确,因而其四要素是不完备的.
（2）不确定性.
对于条件开放题而言,其条件可能是多样的；对于结论
开放题而言,其结论是不唯一的；对于策略开放题而言,它只给出一定的问题情景,其条件、解题策略和结论均需解题者在情景中去设定和寻找.
（3）发散性.
数学开放题需要解题者联合运用观察、想象、分析、综
合、类比、演绎、归纳、概括等思维方法,同时探索多个解决方向,创造新思维和新方法,获得多种结果,并加以整理和论证.
（4）探究性.
开放题的解答没有固定的、现成的模式,解题者不能用
常规方法套用,必须经过思索,自己来设计解题方案.因而,问题的解决需要有大胆的探索精神和一定的探索能力.
（5）创新性.
在解答开放题的过程中,可能引申推广出更一般的问
题,这些往往是意料之外的事情.因而,开放题有利于学生创新意识和创造能力的培养.
二、 利用数学开放题提高学生创新能力
创新是人类的一种特有的意识和能力的表现,主要是指
人类对原有理论知识或行为方式的突破或改变,并以前所未有的积极形式表现出来,是一种全新的创造发明.由于数学开放题有思维发散的特征,所以有利于培养学生的创新能力.
1.数学开放题比数学封闭题更有利于培养学生的创新能力
传统封闭题条件完备,答案固定,解法单一,有固定的
套路,定向性强,有利于巩固推理技巧和加深知识理解.但正因为这样的特点,学生通过模仿就能掌握,所以会导致学生偏重记忆一些方面的方法和发展一些具体机能来通过考试.这禁锢了学生的创新意识.而开放题的条件不充分或没有确定的结论,不囿于唯一答案或钻牛角尖的探求.在某些方面需要创造出新的思想和新的方法来解决到底,做多方探求和全新创造.因此开放题有利于创新能力的培养.
1990年,学者胡林瑞用5道外国开放数学题对安徽省黄山市屯溪二中51名初中和高中学生做一次测试,得出“高中生解这类题的能力并不比初中生强,他们虽然多读了三年书,知识和技能上可能多一些,但发现创造性思维能力都无甚增长”的令人惊讶的结论.测试说明知识、技能的堆砌对学生的创造性思维能力的发展没有帮助.
这些问题都说明,数学开放题确实比封闭题更利于培养学生的创新能力.
2.数学开放题对培养学生创新能力的作用
下面我们从一道数学开放题来分析：
例如,甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡专业规模进行调查,提供两个不同信息（如甲、乙两图）.
甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡.
乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个,请你根据提供的信息说明：
（1） 第2年养鸡场的个数及全县出产鸡总数；
（2）到第6年这个县的养鸡业比第1年扩大了还是缩小了?（说明理由）
（3）哪一年的规模最大?（说明理由）
这是一道数学策略开放题,题目给出了实际问题的情景及所要求的结论,要求学生根据题意对一些常见的可能进行列举、计算,这种解答推理过程没有现成的模式可套,就需要学生探求新的思路和方法.可利用图表提供的信息,选择一次函数作为模型,也可以利用等差数列的模型,这样实现了实际问题的数学化,从而得出以下结论：
（1） 第2年养鸡场个数为26个,全县出产鸡总数312万只.
（2）规模缩小,原因是：第1年出产鸡总数30万只,第6年出产鸡总数为20万只.
（3）第几年规模最大,即出产鸡总数最多,只要求a b等于 的最大值,根据数学知识,结合实际情况,可求得时最大值为31.2万只.
在解答这道题的过程中,没有固定的、现成的模式可循,仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到的解答,学生必须充分调动自己的知识储备,积极开展智力活动,多角度,用多种思维方法进行思考和探索.所以,开放题可以提高创新能力,引入数学开放题有利于克服传统封闭题给学生带来的定式影响,有助于培养学生的探索研究精神进而提高他们的创新能力,推进素质教育.