动量动能机械能守恒易错题

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动量动能机械能守恒是高中考中的重要内容,也是考生经常出错的地方,下面以几个问题为例,希望对同学们有帮助.

例1质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进,当速度为v0时拖车突然与汽车脱钩,到拖车停下瞬间司机才发现.若汽车的牵引力一直未变,车与路面的动摩擦因数为μ,那么拖车刚停下时,汽车的瞬时速度是多大?

图1解析以汽车和拖车系统为研究对象,全过程系统受的合外力始终为（M+m）a,该过程经历时间为v/μg,末状态拖车的动量为零.全过程对系统用动量定理可得

（M-m）01μg等于Mv-（M-m）v0.

所以v等于（M-m）（a-μg）1μM0.

易错点点睛这种方法只能用在拖车停下之前.因为拖车停下后,系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力,因此合外力大小不再是（M+m）a.

图2例2设质量为m的以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块,并留在木块中不再射出,钻入木块深度为d.求木块对的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离.

解析和木块最后共同运动,相当于完全非弹性碰撞.

从动量的角度看,射入木块过程中系统动量守恒,有

mv0等于（M+m）v

从能量的角度看,该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能.设平均阻力大小为f,设、木块的位移大小分别为s1、s2,如图所示,显然有s1-s2等于d

对用动能定理：fs1等于112mv20-112mv2 ①

对木块用动能定理：fs2等于112Mv2②

①、②相减得

fd等于112mv20-112（M+m）2等于Mm12（M+m） ③

易错点点睛这个式子的物理意义是f d恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律,系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见fd等于Q,即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能）,等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力,摩擦生热跟路径有关,所以这里应该用路程,而不是用位移）.

由上式不难求得平均阻力的大小为

f等于Mmv2012（M+m）d

至于木块前进的距离s2,可以由以上②、③相比得出：

s2等于m1M+md

从牛顿运动定律和运动学公式出发,也可以得出同样的结论.由于和木块都在恒力作用下做匀变速运动,位移与平均速度成正比：

s2+d1s2等于（v0+v）/21v/2等于v0+v1v

所以d1s2等于v01v等于M+m1m,s2等于m1M+md

一般情况下Mm,所以s2d.这说明,在射入木块过程中,木块的位移很小,可以忽略不计.这就为分阶段处理问题提供了依据.象这种运动物体与静止物体相互作用,动量守恒,最后共同运动的类型,全过程动能的损失量

ΔEk等于Mm12（M+m）v20④

当速度很大时,可能射穿木块,这时末状态和木块的速度大小不再相等,但穿透过程中系统动量仍然守恒,系统动能损失仍然是ΔEK等于fd（这里的d为木块的厚度）,但由于末状态和木块速度不相等,所以不能再用④式计算ΔEK的大小.

做这类题目时一定要画好示意图,把各种数量关系和速度符号标在图上,以免列方程时带错数据.

图3例3如图3所示,AB为一光滑水平横杆,杆上套一质量为M的小圆环,环上系一长为L质量不计的细绳,绳的另一端拴一质量为m的小球,现将绳拉直,且与AB平行,由静止释放小球,则当线绳与A B成θ角时,圆环移动的距离是多少?

解析虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒,但是系统在水平方向不受外力,因而水平动量守恒.设细绳与AB成θ角时小球的水平速度为v,圆环的水平速度为V,则由水平动量守恒有MV等于mv

且在任意时刻或位置V与v均满足这一关系,加之时间相同,公式中的V和v可分别用其水平位移替代,则上式可写为

Md等于m[（L-Lcosθ）-d]

解得圆环移动的距离d等于mL（1-cosθ）/（M+m）

易错点点睛以动量守恒定律等知识为依托,考查动量守恒条件的理解与灵活运用能力.学生常出现的错误：（1）对动量守恒条件理解不深刻,对系统水平方向动量守恒感到怀疑,无法列出守恒方程.（2）找不出圆环与小球位移之和为（L-Lcosθ）.

总之,做这类题目,首先要画好示意图,要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系.

以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零.如果发生相互作用前系统就具有一定的动量,那就不能再用m1v1等于m2v2这种形式列方程,而要利用（m1+m2）v0等于m1v1+m2v2列式.