一题多解话中考解题策略

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加强解题策略研究,培养破题的第一感,提升数学理解的境界；缩短入题的时间,向自己熟悉的问题化归,锤炼解答的实战能力.

作为新课程终极评价的中考,许多试题形式新颖,方法灵活多样.教学实际中我们一方面要加强一题多解的教学,另一方面也需要不断地寻找其中方便快捷的解题策略.

在中考应考中,学生要在有限的时间内完成题目的解答,解题方法的选择直接决定着解题时间的多少.因此在总复习教学中,一定要听取学生不同的解题思路,还要通过比较加强解题策略的研究.这样不仅可以提高学生的实战能力,也可以在教学中通过解题方法的选择,提升师生对于数学理解的境界.

下面以2012年上海中考数学的24题为例,做如下探析.

一、培养第一感,尽快上手

题目 ：如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y等于ax2+6x+c的图象经过点A（4,0）、B（-1,0）,与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD等于t,点E在第二象限,∠ADE等于90°,tan∠DAE等于

1.2,EF⊥OD,垂足为F．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；

（3）当∠ECA等于∠OAC时,求t的值．

分析1 ：第（1）问应当是个基础试题,难度较小.第一感是直接将A、B两点的坐标代入解析式,这应该是最容易想到,转化为方程组上手最快,如果计算能力较强,得出结果也会很快：

16a+6×4+c等于0

a-6+c等于0

,解得

a等于-2

c等于8

,所以其解析式为：

y等于-2x2+6x+8.

分析2 ：由于点A、B坐标的特殊性,有的学生就会想到运用二次函数的分解式,设y等于a（x-4）（x+1）等于ax2-3ax-4a对比系数,得-3a等于6,本解法很精巧,思维含量很高,对于系数较为复杂的题目,这个特殊方法往往很快捷.但是对于本题,加上思考时间,以及计算和书写时间,下手较慢,对于多数学生来说往往不如上面的方法更能赢得时间.

分析3 ：根据本题点A、B坐标,可以知道该二次函数的图象的对称轴是AB的垂直平分线,运用数形结合的思想得对称轴为x等于

-1+4 2等于

-

6 2a,求得a等于-2,求c的值时还需再代入一个点的坐标；或者再设配方式：y等于-2(x-3 2)2+h,代入一个点的坐标求出h再展开求得函数解析式,反而有弄巧成拙之嫌.

因此,我们应该把思路清晰和计算快捷作为中考解题实战策略,一切以从读题到解答完整后所需的时间最少为标准,不断培养第一感,尽快上手.

二、辨认基本图形,尽快书写

第（2）问是第（3）问的铺垫,第一感觉,求OF只要求得DF即可,这样实际上就是要解△DEF.

方法1 ：图中蕴含一个学生非常熟悉的相似基本图形,解法是显而易见的,利用垂直关系中富含的互余角尽快书写过程：由∠DEF+∠EDF等于∠DEF+∠ADO,得∠DEF等于∠ADO.从而得Rt△EDF∽Rt△DAO,所以

EF DO

等于ED DA,因为ED DA等于

tan∠DAE等于1 2．所以EF等于1 2t．同理

DF OA等于ED DA,所以DF等于2,所以OF等于t-2．

方法2 ：如果没有发现这个相似基本图形,一味的计算就很遥远了.如先求得AD等于t2+16,后由tan∠DAE等于

1.2得出DE等于1 2

t2+16,再由cos∠DEF等于

cos∠ADO,得到EF等于EDcos∠ADO等于

1.2t2+16

t t2+16等于

1.2t,这样肯定得不偿失了.

因此,掌握一些基本图形,发现一些特殊关系对于提高解题的速度和准确性很有帮助,这也是中考实战的重要解题策略.

当然,若本题改变问法,比如要求的是点E的坐标,就要千万留意符号了,点E的坐标应该是（-1 2t,t-2）,这里由题意可知其中t＞2.

三、向熟悉问题化归,尽快求解

第（3）问应当将“∠ECA等于∠OAC”化归为自己熟悉的问题,以利于用方程的思想解决问题.

1.化归到直角三角形

我们往往最容易想到的是构造全等三角形,如图2所示,有C（0,8）,所以OC等于8．连接EC、AC,过A作EC的垂线交CE于．则不难知道 △CAG≌△OCA,所以CG等于4,AG等于OC等于8．再过E点作EM⊥x轴于点M,则

EM等于OF等于t-2,AM等于OA+OM等于OA+EF等于4+1 2t,

因为AE2等于AM2+EM2等于

(4+1 2t)2+(t-2)2.

所以EG等于AE2-AG2等于

(4+1 2t)2+(t-2)2-82

等于5 4t2-44.

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[TS）]

因为EF等于1 2t,CF等于OC-OF等于10-t,CE等于CG+EG等于

5.4t2-44+4.

所以由EF2+CF2等于CE2,得

(1 2t)2+(10-t)2等于(

5.4t2-44+4)2(*)

解得t1等于10（不合题意t≤8,舍去）,t2等于6,所以t等于6．

这个方法中,无理方程（*）解起来很费时间,先化简为2

5.4t2-44等于32-5t

,然后再化为t2-16t+60等于0,才能求得结果,这对于考场上的学生来说,要求很高的计算能力,以及很强的心理素质.事实上连续三次运用勾股定理的方法,直觉上应当是中考实战解题的下策,万不得已应当避免这一解题策略.

2.化归到相似三角形

由tan∠OCA等于OA OC等于

1 2,可以知道∠OCA等于∠DAE,从而有∠DEA等于∠ECA,那么能否用“构造相似三角形：延长ED交AC于点N,得△AEN∽△ACE”来列出方程呢.

即AE2等于AN•,AC,新的问题出来了,如何用t表示AN呢,或者是CN呢?

还需要构造新的相似三角形,作NK⊥CD于K,设KN等于x,则CK等于2x,KD等于8-t-2x,由△NDK∽△EFD,得出x等于

8t-t2 2t+4,于是AN等于AC-CN等于

45-58t-t2 2t+4,于是得方程

(t-2)2+(1 2t+4)2等于45

(45-

5.

8t-t2 2t+4)(1)

方程（1）若直接去分母解,就会化为三次方程,求解会比较困难,应该选择两边通分之策,即

5(t2+16) 4

等于20×t2+16 2t+4

,约去一个非零式5（t2+16）,直接得到2t+4等于16,故t等于6.

这个方法是用了一系列的相似三角形,计算量也很大.可见连续运用同一知识点解题,既显得方法的单调,又带来计算上的繁复,这是我们在总复习教学中应该避免的解题策略.

3.化归到等腰三角形

其实由已知“∠ECA等于∠OAC”,可以通过延长CE交x轴于点T,直接构造等腰△TAC.问题是点T的坐标怎么得到?

假如运用代数法求出CE的解析式y等于kx+8,第一感不是很困难,应当属于实战的中策：

把点E（-1 2t,t-2）代入,得k等于

20-2t t；当y等于0时,求得点T为（

4t t-10,0）.在△OCT中运用勾股定理,得

(4t t-10)2+82等于

(4-4t

t-10)2.

这个方程比前面两个简单得多,去分母后有t2-16t+60等于0,最后轻松得出结果.可见运用不同的知识点,利用多种手法解综合题是中考实战解题的重要策略.

4.化归为中垂线

在上面的方法中,假如我们能够发现下面一个新的知识点：点T在AC的垂直平分线上,就会得到一个解（3）问的上策,将原来的动态问题转化为一个纯几何计算问题.

实际上,明显有△TSA∽△COA,由

AS OA

等于AT AC

,得25 4等于

AT 45,即AT等于10,从而得知点T坐标为（-6,0）.进而求得TC的解析式：y等于4 3x+8,然后把点E（-1 2t,t-2）代入,得t-2等于4 3(t-2)+8,这是个一元一次方程很快求得t等于6.

这个解法的策略是先将条件“∠ECA等于∠OAC”固定,然后把动点E往CT上移动.这种先静后动的思路往往也是使问题简化的重要策略.

5.化归为线段

沿着构造等腰三角形的思路,延长EF交AC于点P,则在两个直角三角形中分别运用三角函数：

tan∠ACO等于AO CO等于

PF CF,

于是,有PF等于1 2CF等于

8-(t-2) 2等于

10-t 2.

因此,EP等于EF+FP等于5,在直角△CEF中,由勾股定理,得方程：

(10-t)2+(t 2)2等于52,化简这个一元二次方程为t2-16t+60等于0,从而得解.

这个方法使我们意外出现：EP是个定值,使得问题突然柳暗花明,出现了转机,这在中考解题策略中,虽然不是我们提倡的教学,但是对于实战中的学生来说也不失为上策.

6.化归为等腰梯形

过点E作EQ∥CA交x轴于点Q,将问题“∠ECA等于∠OAC”化归为一个等腰梯形问题.

由于AC的解析式为y等于 -2x+8,所以设EQ为y等于 -2x+b,代入点E的坐标（-

1 2t,t-2）,有 b等于 -2,于是EQ为y等于 -2x-2.因而得到点Q为（-1,0）,于是EC等于AQ等于5,再用勾股定理列方程：

(10-t)2+(t 2)2等于52,同样得到t等于6.

这个解法,使我们意外的收获：点E的运动路线是线段,这一点从上面的方法中“EP是个定值”也可以发现,并且其所在直线解析式为y等于 -2x-2.事实上,由点E的坐标（-

1.2t,t-2）,我们也可以求得点E运动线路的解析式：由x等于

-1 2t,得t等于-2x,代入y等于t-2,得到y等于 -2x-2.

从后面两个解法,我们仿佛看到了命题者选择tan∠ACO等于tan∠DAE等于1 2,绝非偶然巧合,而是匠心独运,为学生实战答题留下一个快捷之策.

通过以上分析,我们发现在中考考场的有限时间内解答综合题,不仅需要扎实的基础知识和熟练的基本技能,还需要不断加强联想,从而综合运用知识,把陌生的问题化归为熟悉的类型,根据对问题的总体直觉把握,尽量选择省时且不易出错的解题策略.