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摘 要 ：正态分布是我们最常见最重要的分布之一,它不仅具有重要的实际应用背景和理论价值,还具有很多重要的性质；相关系数是重要的数字特征之一.我们给出数学教学中同学们对一道关于正态分布和相关系数关系的常见题目的错解并进行分析解答.
关 键 词 ：协方差；相关系数；概率
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）38-0127-02
协方差和相关系数是概率论课程中两个重要的数字特征[1,2].教学中我们经常遇到有些同学错解下列题目.
例：已知随机变量X与Y分别服从N（1,32）和N（1,42）,X与Y的相关系数ρXY等于-,令Z等于X+Y,问：
（1）X与Z的相关系数；
（2）X与Z是否相互独立?为什么?
教学过程中发现,学习了二维正态分布和随机变量的独立性之后,很多同学的解答如下：
解答：（1）由题意知：D（X）等于32,D（Y）等于42；根据协方差的定义和性质得
Cov（X,Z）等于CovX
,
X+Y等于Cov（X,X）+Cov（X,Y）等于D（X）+ρXY等于3-3等于0；
（2）由二维正态随机变量相关系数为零和相互独立两者等价的结论可知随机变量X和Z是相互独立的.
分析：根据协方差的性质可知第一问的解答是正确的,但是第二问的解答却是错误的.错误的主要原因是学生对二维正态分布与随机变量之间的关系没有理解清楚.具体原因如下：
由题意知ρXY等于,所以随机变量X和随机变量Y不相互独立（如果两个随机变量相互独立则相关系数为0）.因此,我们不能得到随机变量X和随机变量Y的线性组合Z等于X+Y服从正态分布；退一步讲,如果随机变量Z服从正态分布,我们也不能得到正态随机变量X和正态随机变量Z服从二维正态分布（边缘分布为正态分布的二维随机变量,其联合分布不一定是正态分布）.我们举例说明如下：
例：令二维随机变量（X,Y）的联合概率密度函数为：
f（x,y）等于e（1+sinxsiny）
显然,根据二维正态分布的定义可知（X,Y）不服从二维正态分布,但是我们可以求的其边缘分布是标准正态分布：
fX（x）等于f（x,y）dy等于eedy+esinxesinydy等于e
同理,我们可得关于Y的边缘密度函数为
fY（y）等于e
因此,边缘分布均为正态分布的二维随机变量（X,Y）,其联合分布不一定是二维正态分布.
综上分析可知,虽然对二维正态随机变量（X,Y）而言随机变量X和随机变量Y相互独立等价于ρXY等于0,但是本题仅由随机变量X和随机变量Z的相关系数等于零并不能判断随机变量和随机变量的独立性.
概率论基础是大学课程中非常重要的一门公共基础课,它指导我们客观、科学地认识随机现象,掌握随机现象背后蕴含的规律.但是,由于概率论学科体系的抽象性和逻辑性导致很多学生存在学习困难.如何指导学生从概率论这门学科发展过程来学习概率,学习前人积累的科学知识,理顺一些重要定义之间的关系,是我们教学过程中需要注意的地方.